2023 年宜春聯考第11 題的解法探究及變式拓展

江西省宜春市第九中學(336099) 范水平 黃亞玲

圓錐曲線試題綜合性較強,每年高考必考,重點考查學生直觀想象、數學運算、邏輯推理素養.在日常教學中,核心素養主要表現在數學方法應用和解題思想方面.基于以上理念,筆者對宜春十校聯考第11 題D 選項的解法進行探究,并對結論進行推廣、教學反思.

1 試題呈現

題目已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,A(x1,y1),B(x2,y2)是C上兩點,O為坐標原點,M為x軸正半軸上一點,過B作C的準線的垂線,垂足為B1,AB的中點為E,則()

A.若|BB1|=2|OF|,則四邊形OFBB1的周長為3+

B.若|AF|=3,則ΔAOF的面積為

C.若|AB|=6,則E到y軸的最短距離為3

D.若直線AB過點M(2,0),則為定值

2 解法探究

以下僅考慮D 選項的解答.

解法1(直線普通方程)

評析圓錐曲線問題解決的一般策略: 設直線方程、聯立方程、消元化簡、韋達定理、判別式、代數運算、檢驗等.

解法2(平移法)

評析本題的背景就是斜率之和為定值問題,針對此類問題可以通過平移(齊次化)轉化到過原點的幾何度量問題,求解過程簡潔易懂.

解法3(向量法)

解法4(幾何法)

評析作垂線并利用三角形相似是幾何法解決圓錐曲線常采用的手段.

解法5(直線參數方程)

評析題目中出現|MA|,|MB|,點M又是定點,自然想到直線參數方程中t的幾何意義,利用參數方程法可以把目標式子直接化為韋達定理形式,計算簡潔高效.

3 拓展推廣

2023年宜春十校聯考第11 題已知的拋物線可以改為一般的拋物線,M(2,0)改為M(p,0),可以得到一般性的結論.

定理1已知拋物線C:y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2)是C上兩點,若直線AB過點M(p,0),則

定理1 條件不變,可以得到如下結論.

定理2 的結論kNA+kNB=0 作為條件,可得到如下結論.

4 反思

4.1 重視基本概念,構建思維導圖,加深本質理解

解析幾何教學要注重有關概念復習并對概念本質進行剖析,在概念復習的基礎上加強知識內在邏輯思維導圖構建,特別是二輪復習,一方面師生一起完成數學知識導圖創建,還要加大在整體框架基礎上的微專題復習力度.總之,只有理解概念本質,才能構建良好的思維導圖,且思維能力,核心素養都將得到一定提高.

4.2 注重數學運算,提高核心素養

解析幾何避免不了代數運算,研究發現,在日常的解析幾何教學過程當中,學生碰到的一大難題就是數學運算.圓錐曲線綜合題的代數運算一般比較大,比如聯立方程,代入化簡計算常出現錯誤.在解法1-5 的教學探究過程中,教師不能只講思路而點到為止.除了分析問題過程,解法路徑,教師還要舍得花時間和學生一起進行數學演算,在演算過程當中,教給學生一定的計算技巧并進行針對性訓練.

4.3 探究典型試題解法,變式訓練能力

通過對解析幾何典型題的解法探究,訓練學生解析幾何的一般思路.在研究當中,多總結反思,加強對解析幾何問題本質的理解,為什么要這樣設方程? 設別的形式行不行? 為什么要聯立? 為什么可以聯立? 消元消哪個比較好? 要不要考慮判別式? 降低代數運算難度的方法技巧有哪些? 求定值、最值模型的方法有哪些? 通過變式訓練檢測能力.解析幾何的變式一般有: 一般化,類比,結論條件反置,強化弱化條件結論.