從一個蘑菇尋找一堆蘑菇

徐海虎

摘? 要：教材是知識與方法最重要的載體，也是課標最直接的呈現形式，教材中甄選的習題有很好的代表性和延展性.在教學中我們要重視對教材習題的探究與發掘，由“個”到“類”，引導學生不斷地變式探索，從一個蘑菇尋找一堆蘑菇，借助這個過程提升學生的解題能力，培養核心素養，發展解題的高階思維.

關鍵詞：教材；習題；蘑菇；高階思維

著名數學教育家喬治·波利亞在他的《怎樣解題》一書中指出：“好問題如同某種蘑菇，它們總是成堆地生長，找到一個以后，你應當環顧四周，很可能在附近就有好幾個.”在實際教學中，尋找一堆蘑菇之前，首先困擾我們的往往是如何找到第一個品質優良的蘑菇，很多時候我們會不自覺迷失在每年全國各地的模擬題當中，卻忽略了蘑菇最初始的培養基——教材.

教材作為教學最規范和全面的一手資料，不僅是我們教授知識的載體，同樣也能指導我們更科學、高效地解題.隨著新一輪課程改革的穩步推進，“多一點思考，少一點機械運算”已經成為高考命題的一條基本理念.［1］稍加注意，不難發現近幾年的數學高考試題都有不少是源于教材本身，這些試題大多是教材中的例題和習題的變式與重組.“源于教材，高于教材”是高考試題的真實寫照.［2］教材中的題目大多都蘊涵著深刻的數學知識與豐富的數學文化背景，只有回歸教材，研究教材，才能將師生從“題海戰術”中解放出來.

1? 習題再現

^^（人教A版高中數學選擇性必修第一冊，第116頁“拓廣探索”第14題）&&

已知橢圓x24＋y29＝1，一組平行直線的斜率是32.

（1）這組直線何時與橢圓有兩個公共點？

（2）當它們與橢圓有兩個公共點時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一條直線上.

第（1）問研究的是直線與曲線的交點問題，只需設出直線方程并聯立橢圓方程，消去一個未知量，根據一元二次方程的判別式進行判定即可求解.這里我們重點探究第（2）問.

思路一：要證明被橢圓截得的線段中點共線，首先要求出每條線段所對應的弦中點坐標，所以設出直線方程，利用韋達定理即可求出弦中點的坐標，最后再利用消參法求出軌跡方程.具體求解過程如下：

解析：設這一組平行直線的方程為y＝32x＋t，直線與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，記AB中點為M（x0，y0）.將直線方程代入橢圓方程，整理，得18x2＋12tx＋4t2－36＝0，由韋達定理可知，x1＋x2＝－23t，則x0＝－13t，再由直線y＝32x＋t可得弦中點的縱坐標y0＝12t.消去t可得y＝－32x，則這組平行直線被橢圓截得的線段的中點在直線y＝－32x上.

方法總結：此方法主要是利用消參法求動點的軌跡，進而求出直線的方程，屬于基本解法.

思路二：提到弦中點，我們還可以利用點差法尋求直線斜率之間的關系.這也是學生比較熟悉的與弦中點相關的二級結論.具體求解過程如下：

解析：設橢圓x24＋y29＝1與直線y＝32x＋t相交于點A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點為M（x0，y0），由題意可得x214＋y219＝1，

x224＋y229＝1.兩式相減可得（x1＋x2）（x1－x2）4＋（y1＋y2）（y1－y2）9＝0，即y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝－94，其中y1－y2x1－x2＝kAB.因為M（x0，y0）是線段AB的中點，所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，則y1＋y2x1＋x2＝y0x0，而y0x0＝kOM，所以kAB·kOM＝－94，即直線AB的斜率與直線OM的斜率的乘積為定值－94.從而求出OM的斜率為定值－32，即這組平行直線被橢圓截得的線段的中點在直線y＝－32x上.

方法總結：此方法主要是利用弦中點的結論（證明方法同上）：已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），O為坐標原點，過點M（x0，y0）且不平行于坐標軸的直線l與橢圓相交于A，B兩點，且M為線段AB的中點，則有kAB·kOM＝－b2a2.該結論還可以進一步推廣：已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），O為坐標原點，過點O的直線l與橢圓相交于A，B兩點，P為橢圓上異于A，B的點，若直線PA，PB的斜率存在，則有kPA·kPB＝－b2a2.教材上有對應的例題［3］，此處不再贅述.

2? 對比反思

通過以上兩種求解思路的對比我們發現，利用斜率乘積為定值的二級結論在解決圓錐曲線中與弦中點相關問題的時候，會更快速簡便.解決了這道課本習題之后，我們也可以得到如下推廣：橢圓的一組平行弦的中點與原點共線.

【一找蘑菇】由上面的推廣結論，我們知道弦中點與原點共線，除此之外，是否還能發現其他的性質呢？帶著這樣的思考，我們將本道習題進行改編：

變式習題? 如圖1，已知橢圓E：x216＋y24＝1，橢圓上有四個動點A，B，C，D，CD∥AB，AD與BC相交于點P.若點P的坐標為（8，6），求直線AB的斜率.

分析：本題雖然沒有提及弦中點，但是在題設條件中出現了平行弦，延續教材習題所帶來的方法引導，我們很快可以得到如下方法：

解析：如圖2，取AB中點M，連接PM并延長，交CD于點N.因為CD∥AB，所以AMDN＝PMPN＝BMCN.又AM＝BM，所以CN＝DN，即N為CD中點.設A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中點為M（x0，y0）.因為x2116＋y214＝1，x2216＋y224＝1，所以（x1＋x2）（x1－x2）16＋（y1＋y2）（y1－y2）4＝0，2x0（x1－x2）16＋2y0（y1－y2）4＝0，故kAB·kOM＝－14，同理可得kCD·kON＝－14.因為kAB＝kCD，所以kOM＝kON，從而得O，M，N三點共線，因此O，P，M，N四點共線.由kAB·kOP＝－14，kOP＝34，解得kAB＝－13，即AB的斜率為－13.

方法總結：通過變式推廣，我們發現若橢圓一組平行弦對應端點的連線交于一點，則該點與平行弦中點及原點均共線.

【二找蘑菇】本題除了用共線來求解直線的斜率，還有沒有其他方法呢？考慮到平行線帶來的三角形相似，可以嘗試通過比例關系轉化為向量定比分點進行求解，從而挖掘出以下的雙割線同構法：

方法探究1：雙割線同構

解析：如圖1，設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），因為CD∥AB，可記PD＝λPA，PC＝λPB.由PD＝λPA，得x4－8＝λ（x1－8），

y4－6＝λ（y1－6），

所以x4＝λx1－8λ+8，

y4＝λy1－6λ+6.

又A，D均在橢圓上，所以

x2116＋y214＝1①，

（λx1－8λ+8）216＋（λy1－6λ+6）24＝1②，將①式代入②式，化簡，得λx1＋3λy1-14λ＋12＝0，同理可得λx2＋3λy2-14λ＋12＝0，即直線AB：λx＋3λy-14λ＋12＝0（λ≠0），所以直線AB的斜率為－13.

方法總結：通過將平行線等分線段比例進行量化，利用向量坐標的運算得到x1，y1與比例系數λ之間的關系，同理又可以推出x2，y2與λ之間的關系，采用兩點同構的方法直接寫出直線AB的方程，進而求出直線AB的斜率.同構的推廣告訴我們，如果過橢圓外一點作橢圓的兩條割線，那么在每一條割線上均可以利用定比分點找到坐標與比例系數之間的關系式，最后采用雙割線同構的方法求出目標直線的方程.這樣，習題的變式就得到進一步推廣和深化.

除了同構法的拓展，在教學中，坐標關系式化簡的方式也不唯一，教師可以引導學生自主探究，嘗試不同的化簡方法，就比如下面的定比點差法：

設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），記AP＝λPD，得8＝x1＋λx41＋λ，

6＝y1＋λy41＋λ.（*）又A，D均在橢圓上，所以x2116＋y214＝1，

x2416＋y244＝1，變形可得x2116＋y214＝1，

λ2x2416＋λ2y244＝λ2，兩式作差，得（x1＋λx4）（x1－λx4）16＋（y1＋λy4）（y1－λy4）4＝1－λ2，將（*）代入可得8（1＋λ）（x1－λx4）＋24（1＋λ）（y1－λy4）＝1－λ2（**）.因為λ≠－1，所以8（x1－λx4）＋24（y1－λy4）＝1－λ.

通過（*）式變形可得λx4＝8（1＋λ）－x1，λy4＝8（1＋λ）－y1，代入（**）式化簡可得16x1＋48y1－255λ2－257＝0.同理可得16x2＋48y2－255λ2－257＝0，即直線AB的方程為16x＋48y－255λ2－257＝0，所以AB的斜率為－13.

【三找蘑菇】到此，尋找蘑菇的腳步是不是就可以停止了呢？通過觀察，我們發現，同構的方法是建立在兩條割線比例關系相同的情況下研究的，如果僅有一條割線，或者割線上的比例關系不一樣，那同構的方法還具有適用性嗎？

方法探究2：單割線同構

習題再變式? 如圖3，已知橢圓C：x24＋y22＝1.過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于不同的A，B兩點，在線段AB上取點Q，滿足|AP|·|QB|＝|AQ|·|PB|，證明：點Q總在某定直線上.

分析：本題僅有一條割線，這就導致兩個向量的比例關系均分布在同一條直線上，但是本質上還是可以看作是兩組不同的比例關系式，結合上面的同構方法，整理出以下解法：

解析：設A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），P（4，1），設AP＝λAQ，則BP＝μBQ，由|AP|·|QB|＝|AQ|·|PB|，可知λ＋μ＝0.由AP＝λAQ可得（4－x1，1－y1）＝λ（x－x1，y－y1），所以x1＝λx－4λ－1，y1＝λy－1λ－1，代入橢圓方程化簡，得（x2+2y2－4）λ2－（8x＋4y－8）λ＋14＝0.同理可得（x2+2y2－4）μ2－（8x＋4y－8）μ＋14＝0.即λ，μ為關于t的方程（x2+2y2－4）t2－（8x＋4y－8）t＋14＝0的兩個實數根（其中x2+2y2－4≠0），λ＋μ＝8x＋4y－8x2+2y2－4＝0，即8x＋4y－8＝0，所以點Q總在定直線2x＋y－2＝0上.

3? 方法總結

單割線同構的方法首先是設出比例系數，將同一條直線上的比例關系用向量刻畫，然后求出點的坐標，代入橢圓方程之后建立等量關系.最后將比例系數看作未知數，同構出比例系數所滿足的方程，再利用一元二次方程根與系數的關系求出定直線的方程.本題的同構與前面有一定的區別，通過對這兩種同

構的對比，學生也能發現，同構的本質是要出現兩組相同結構的關系式，跟割線的條數無關，與比例關系式的個數相關.

通過對這道課本習題的探究和拓展，我們可以總結出圓錐曲線中有關弦中點和中心弦的二級結論，也可以引出定比分點的向量坐標運算，從而進一步探索出同構的方法.

其實，在實際教學中，尋找蘑菇的腳步還可以繼續走下去，比如最后的變式本質上就是“調和點列”的內容，教師可以借這個機會引導學生深入研究，拓展思路，通過自主學習獲得習題背后更多的知識與方法，真正意義上通過一個蘑菇找到成堆的蘑菇.

波利亞的蘑菇理論，要求教師在教學中首先要培養學生的“尋找”意識，不能只是就題做題；其次，在解決一個問題后，要善于去總結一個模式，并把它

儲存起來，以后可以隨時用它去解決類似的問題，進而提高解題能力.因此，重視教材的課后習題，引導學生對習題進行探究拓展，并在此過程中教會學生如何抽象和一般化，關注學生深度的思維經歷，也是促進數學解題教學從低階思維向高階思維轉變的重要方式［4］.

參考文獻

［1］ 陳炳泉.從課本題目到高考試題的變式研究［J］.數學通報，2019，58（11）：38－41.

［2］ 袁濤，賀文.回歸數學教材，重視習題探究——從教材中的一道圓錐曲線練習題說起［J］.數學教學通訊，2022（30）：84－86.

［3］ 章建躍，李增滬.普通高中教科書：數學（選擇性必修第一冊）［M］.北京：人民教育出版社，2021.

［4］ 趙鋒.指向高階思維的數學復習課教學例談［J］.中學數學教學參考，2022（29）：32－35.