高斯函數(shù)性質及應用

【摘? 要】? 近年來，對以“高斯”名字命名的高斯函數(shù)的研究與考查悄然興起，看起來很簡單的函數(shù)，卻有著十分豐富的性質，同時當它與其他函數(shù)復合時問題變得更不簡單.數(shù)學教師必須認真研究教材，切實把握教材內容的內涵和外延，真正做到“用教材教”．

【關鍵詞】? 高斯函數(shù);性質;應用

約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855），德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，近代數(shù)學奠基者之一.高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有“數(shù)學王子”之稱.近年來，對以“高斯”名字命名的高斯函數(shù)的研究與考查悄然興起，應引起我們重視.

1? 高斯函數(shù)的定義

函數(shù)y=［x］稱為高斯函數(shù)，其中［x］表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，也叫取整函數(shù)，例如，［2.3］=2，［-0.5］=-1，等等.

2? 追根溯源

人民教育出版社普通高中教科書《數(shù)學》必修第一冊第74頁習題3.1第13題：函數(shù)f（x）=［x］的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，［-3.5］=-4，［2.1］=2.當x∈（-2.5，3］時，寫出函數(shù)f（x）的解析式，并畫出函數(shù)的圖象［1］.

在該教材第74頁第18題：記圓周率π小數(shù)點后第n位上的數(shù)字為y，那么你認為y是n的函數(shù)嗎？如果進一步追問：若是，你能寫出該函數(shù)的解析式嗎？（這里我們可用高斯函數(shù)表示該函數(shù)的解析式：y=f（n）=［π×10n］-［π×10n-1］×10（n∈N*））

3? 高斯函數(shù)的圖象

圖1對于高斯函數(shù)y=［x］，它是一個分段函數(shù)，其定義域是全體實數(shù)R，值域是整數(shù)集Z.對任意整數(shù)n，函數(shù)y=［x］在［n，n+1）上的圖象是一段垂直于y軸的線段（不含右端點），因此可以說高斯函數(shù)的圖象是成階梯狀分布的，且在每個整點上都有一個跳躍型的間斷，如圖1所示.

4? 高斯函數(shù)的基本性質

將［x］叫做x的整數(shù)部分，x-［x］叫做x的小數(shù)部分，記為{x}，易得下列性質.

（1）x=［x］+{x}，0≤{x}＜1;

（2）x-1＜［x］≤x＜［x］+1;

（3）［n+x］=n+［x］;{n+x}={x}，n∈Z;

（4）若x≤y，則［x］≤［y］;

（5）當x∈Z時，［-x］=-［x］，當xZ時，［-x］=-［x］-1;

（進一步由圖象變換知識易知：函數(shù)y=［-x］與y=［x］圖象關于y軸對稱;函數(shù)y=-［x］與y=［x］圖象關于x軸對稱;函數(shù)y=-［-x］與y=［x］圖象關于原點對稱.）

（6）［x］+［y］≤［x+y］.

5? 應用舉例

例1（多項選擇題）? 下列關于高斯函數(shù)y=［x］的性質敘述正確的是（? ）.

A.y=［x］值域為Z

B.y=［x］不是奇函數(shù)

C.y=x-［x］為周期函數(shù)

D.y=［x］在R上單調遞增

圖2

解析? 對于選項C：當n≤x＜n+1時，y=x-［x］=x-n，n∈Z.為了更直觀地看出函數(shù)的性質，這里不妨給出該函數(shù)的部分解析式及圖象：y=x-［x］=x+2，-2≤x＜-1，x+1，-1≤x＜0，x，0≤x＜1，x-1，1≤x＜2，x-2，2≤x＜3，對應圖象如圖2所示.不難看出該函數(shù)是一個周期為1的周期函數(shù).其他選項也不難判定，本題正確答案是ABC.

例2? 設［x］表示不大于x的最大整數(shù)，如［-2.5］=-3，則對任意實數(shù)x，有（? ）.

A.［-x］=-［x］

B.x+12=［x］

C.［2x］=2［x］

D.x+12+［x］=［2x］

解析? 由高斯函數(shù)的定義及性質可知，本題正確答案是D.

例3（多項選擇題）? 設x∈R，用［x］表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，設函數(shù)f（x）=x-［x］-12，則下列關于函數(shù)f（x）敘述正確的是（? ）.

A.f（x）在（0，1）上單調遞增

B.f（x）有最小值無最大值

C.f（x）為奇函數(shù)

D.x∈R，［f（x）］=0

解析? 對于選項A：當x∈（0，1）時，f（x）=x-［x］-12=x-12，顯然在（0，1）上單調遞增.由f（0）=-12即可排除選項C，D.其實，函數(shù)f（x）=x-［x］-12就是把例1圖2中的圖象向下平移12個單位，因此就不難判斷本題正確答案是AB.

例4? （安徽省寧國中學高一（上）第二次段考即鼎尖教育2022年11月大聯(lián)考數(shù)學試題第8題）符號［x］表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如［3.2］=3，［-3.5］=-4，［|-3.5|］=［3.5］=3.定義函數(shù)f（x）=［|x|］-|x|，則下列說法中錯誤的是（? ）.

A.若n∈Z，則f（n）=0

B.函數(shù)f（x）為偶函數(shù)

C.函數(shù)f（x）的最大值為0

D.函數(shù)f（x）的最小值為-1

解析? 因為f（-x）=［|-x|］-|-x|=［|x|］-|x|=f（x），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，圖3所以選項A，B正確.為了更直觀地看出函數(shù)的性質，這里不妨給出該函數(shù)的部分解析式及圖象：

f（x）=［|x|］-|x|=2+x，-3＜x≤-2，1+x，-2＜x≤-1，x，-1＜x＜0，-x，0≤x＜1，1-x，1≤x＜2，2-x，2≤x＜3，對應圖象如圖3所示.觀察函數(shù)圖象可知函數(shù)f（x）的最大值為0，最小值取不到-1，從而C正確，D錯誤，故本題正確答案是D.

例5? （宣城七校2021—2022學年上學期期中測試高一數(shù)學試題第15題）符號［x］表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如［2.3］=2，［-0.5］=-1，當x∈-1.5，1時，函數(shù)y=［x］x的值域為??? .

解析? （1）當-1.5＜x＜-1時，［x］=-2，y=［x］x=-2x，所以2＜y＜3;（2）當-1≤x＜0時，［x］=-1，y=［x］x=-x，所以0＜y≤1;（3）當0≤x＜1時，［x］=0，y=［x］x=0;（4）當x=1時，［x］=1，y=［x］x=1.綜上所述，當x∈（-1.5，1］時，函數(shù)y=［x］x的值域為［0，1］∪（2，3）.

點評? 由上述實例可知，高斯函數(shù)的應用中常出現(xiàn)x與［x］的運算，上面給出了差（包括絕對值）、積運算，將問題拓展，還可編制和、商運算的試題.

例6? （安徽省寧國中學2022—2023學年上學期高一數(shù)學第一次周考試題第15題）對于x∈R，［x］表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如［1.1］=1，［-2.1］=-3.定義R上的函數(shù)f（x）=［2x］+［4x］+［8x］.若A=yy=f（x），0≤x≤12，則A中所有元素的和為??? .

解析? 這里由A集合中函數(shù)定義域及高斯函數(shù)的定義可寫出分段函數(shù)f（x）的具體解析式：f（x）=［2x］+4x+8x=0，0≤x＜18，1，18≤x＜14，3，14≤x＜384，38≤x＜12，7，x=12，，對應圖象如圖4所示.觀察函數(shù)圖象可知當0≤x≤12時，函數(shù)f（x）可取值為0，1，3，4，7，即A=0，1，3，4，7，故A中所有元素的和為15.

圖4

例7? （多項選擇題）（安徽省寧國中學2022—2023學年上學期高一數(shù)學第四次周考試題第8題）設x∈R，［x］表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如：［-3.5］=-4，［2.1］=2，已知函數(shù)f（x）=ex1+ex-12，則下列敘述正確的是（? ）.

A.［f（x）］是偶函數(shù)

B.f（x）是奇函數(shù)

C.f（x）在R上是增函數(shù)

D.［f（x）］的值域是-1，0

解析? 令g（x）=［f（x）］，則g（1）=［f（1）］=e1+e-12=0，g（-1）=［f（-1）］=e-11+e-1-12=-1，所以g（-1）≠g（1），故g（x）=［f（x）］不是偶函數(shù)，選項A錯誤.

因為f（x）=ex1+ex-12的定義域為R，f（-x）+f（x）=e-x1+e-x+ex1+ex-1=1+ex1+ex-1=0，所以f（x）是奇函數(shù)，故選項B正確.

因為f（x）=ex1+ex-12=1+ex-11+ex-12=12-11+ex，且y=ex在R上單調遞增，所以f（x）=12-11+ex在R上是增函數(shù)，故選項C正確.

因為ex>0，所以1+ex>1，因此0＜11+ex＜1，所以-12＜12-11+ex＜12，即-12＜f（x）＜12，因此g（x）=［f（x）］∈-1，0，故選項D正確.

綜上所述，本題正確答案是BCD.

點評? 其實，函數(shù)g（x）=［f（x）］是高斯函數(shù)與超越函數(shù)f（x）=ex1+ex-12的復合，當高斯函數(shù)與其他函數(shù)復合時問題變得復雜一些.

6? 問題拓展

例8? （多項選擇題）（人教A版《數(shù)學》必修第一冊配套資料《能力培養(yǎng)與測試課時評價作業(yè)（十九）》第32頁）給出定義：若m-12＜x≤m+12（其中m為整數(shù)），則稱m為離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m.則下列關于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個命題中是真命題的有（? ）.

A.函數(shù)y=f（x）的定義域是R，值域是-12，12

B.函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)

C.函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)

D.函數(shù)y=f（x）在區(qū)間-12，12上單調遞增

解析? 為了更直觀地看出函數(shù)的性質，這里不妨給出該函數(shù)的部分解析式及圖象：

f（x）=x-{x}=x+1，-32＜x≤-12，x，-12＜x≤12，x-1，12＜x≤32，x-2，32＜x≤52，對應圖象如圖5所示，觀察函數(shù)圖象可知函數(shù)y=f（x）既不關于y軸對稱，也不關于原點對稱，定義域是R，值域是-12，12，在區(qū)間-12，12上單調遞增，故本題正確答案是AD.圖5

點評? 本題新定義的函數(shù)y={x}顯然與高斯函數(shù)不同，但研究問題的方式方法有雷同之處，進一步拓展或與其他函數(shù)復合可得更多變式題.

7? 結束語

通過前面的研究我們不難發(fā)現(xiàn)，高斯函數(shù)看起來是一個很簡單的函數(shù)，卻有著十分豐富的性質，研究高斯函數(shù)可得許多奇妙的結論，同時當它與其他函數(shù)復合時問題變得并不簡單.

另外，教材是眾多專家集體智慧的結晶，經過長期的使用、修改而不斷完善、日臻成熟．數(shù)學教師必須認真研究教材，切實把握教材內容的內涵和外延，形成對所教內容的深刻感悟，才能在教學實踐中充分利用教材所蘊藏的豐富教學資源，真正做到“用教材教”，最終達到提高課堂教學實效和學生綜合能力的效果［2］．

參考文獻

［1］? 人民教育出版社? 課程教材研究所? 中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心．普通高中教科書·數(shù)學必修第一冊（A版）［M］．1版．北京：人民教育出版社，2019：74．

［2］? 陳曉明．對一道教材習題的探究［J］．中學數(shù)學教學參考，2017（25）：39-41．

作者簡介? 陳曉明（1971—），男，安徽廣德人，碩士學位，中高職稱；發(fā)表論文120余篇．