利用模型思想巧解數(shù)學(xué)題的策略

孫鵬飛

摘? 要：模型思想是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要思想方法，是與數(shù)學(xué)建模競賽相聯(lián)系的，并逐步在中小學(xué)教育中得到越來越多的重視.高中數(shù)學(xué)的理論概念和生活實(shí)際的聯(lián)系較為緊密，教師指導(dǎo)學(xué)生在理解和掌握必要的數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)之上，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)的模型思維以及將數(shù)學(xué)理論和生活實(shí)際相結(jié)合的數(shù)學(xué)能力.在新課改的實(shí)施進(jìn)程中，數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用也被納入了高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)目標(biāo)中.如何利用模型思想解決高中數(shù)學(xué)的具體問題，從而達(dá)到優(yōu)化解決問題的目的，是高中數(shù)學(xué)教師需要思考的問題之一.

關(guān)鍵詞：模型思想；簡化假設(shè)；模型識別

建模通俗地講就是建立模型，本質(zhì)地說是一種思考方法，是對實(shí)際問題進(jìn)行抽象、假設(shè)、簡化，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)框架或結(jié)構(gòu)，進(jìn)而求解模型、驗(yàn)證模型解的全過程.而建模思想就是利用模型的結(jié)論、模型的假設(shè)、模型的特征、模型的背景等去解決問題的一種方法，下面我將分享建模思想在解題中的一些初步應(yīng)用.

1? 模型結(jié)論的識別

1.1? 當(dāng)且僅當(dāng)

^^（2014年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科·16）&&已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為??? .

解析：顯然面積模型為三角形，要求面積最大，往往會想到等邊三角形.均值不等式定理就是利用“當(dāng)且僅當(dāng)”實(shí)現(xiàn)的，所以這道題只需要驗(yàn)證60°的存在問題.顯然角為60°成立，所以面積為3.這樣的秒殺就是建模思想的充分利用.

1.2? 三點(diǎn)共線

圖1

（1）如圖1，已知橢圓C：x27+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在橢圓C上，點(diǎn)N（-1，1），則|MN|+|MF1|的最大值為??? .

解析：利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化，由幾何法求出|MN|+|MF1|的最大值.|MN|+|MF1|=|MN|+27-|MF2|≤|NF2|+27=

（2+1）2+（0-1）2=10+27（當(dāng)M，F(xiàn)2，N三點(diǎn)共線時，等號成立），所以|MN|+|MF1|的最大值為10+27.

（2）如圖2，已知橢圓C：x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓C上，若點(diǎn)A（5，8），則|PA|-|PF|的最小值為??? .

圖2

解析：由橢圓的定義知，|PF1|+|PF|=4，所以|PF|=4-|PF1|，

因此|PA|-|PF|=|PA|-（4-|PF1|）=|PA|+|PF1|-4，而|PA|+|PF1|的最小值是當(dāng)P，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時AF1的長，因此|PA|-|PF|≥|AF1|-4.又F1（-1，0），因此|AF1|=（5+1）2+82=10，所以|PA|-|PF|≥6，因此|PA|-|PF|的最小值為6.

2? 假設(shè)簡化的識別

2.1? 模型假設(shè)

如圖3，已知橢圓：x2a2+y2=1（a＞1）的離心率為12，則a等于（? ）.

A. 233

B. 2

C. 3

D. 2

圖3

解析：常規(guī)解法為a2-1a=12，兩邊平方求解.當(dāng)有模型假設(shè)時，就變?yōu)楸壤P(guān)系13=a2，解得a=233.

2.2? 簡化假設(shè)

^^（2023年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科·21）&&甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

2024年第3期數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模2024年第3期

（1）求第2次投籃的人是乙的概率.

（2）求第i次投籃的人是甲的概率.

（3）已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（ni=1Xi）=ni=1qi，記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）.

解析：第一問其實(shí)就是第二問必要的簡化與引子，第二問只需要模型假設(shè)即可.設(shè)甲第i次投籃的概率為pi，則甲第（i+1）次投籃的概率為pi+1=0.6pi+0.2（1-pi），通過構(gòu)造即可求解，但是閱卷的零分率卻很高，不得不讓我們反思，數(shù)學(xué)建模教學(xué)存在嚴(yán)重的不足.

3? 特征結(jié)構(gòu)的識別

^^（2023年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科·16）&&如圖4，已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B，F(xiàn)2A=-23F2B，則C的離心率為??? .

圖4

解析：從-23的特征結(jié)構(gòu)出發(fā)，結(jié)合對稱性建立直角模型.假定AF2=2，則BF2=3，BF1=3，AF1=4，2a=2，a=1，由cosA=45=16+4-4c216=5-c24，c2=95，所以

ca=

c2a2=355.

參考文獻(xiàn)

［1］ 曹一鳴，張生春.數(shù)學(xué)教學(xué)論［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

［2］ 張元春.中學(xué)數(shù)學(xué)思維方法與能力培養(yǎng)［M］.長沙：湖南師范大學(xué)出版社，2016.

［3］ 孔凡哲.有關(guān)模型思想若干問題的分析與解讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（1）：4～7.

［4］ 于海薇.高中函數(shù)教學(xué)研究［D］.大連：遼寧師范大學(xué)，2015.

［5］ 康衛(wèi)兵.淺談新課改下的高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（14）：22-23.

［6］劉艷鮮.利用Geogebra開展線性規(guī)劃問題探究例析［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（1）：77-79.

［7］郭影影.借高考題談單項選擇題解題策略［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（2）：4-7.

［8］李青.數(shù)學(xué)教學(xué)視域下的“李約瑟難題”探析［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（2）：4-7.