基于“四個價值”:一道拓廣探索題的教學實踐

朱田晟驁 唐新標

基金項目：

湖南省基礎教育教學研究項目“雙減背景下高中數學課程思政育人實踐研究”

（項目編號：Y20230426）.

摘? 要：通過對高中數學教材中一道跨學科拓廣探索題的教學實踐，深入挖掘拓廣探索題中蘊含的跨學科背景材料，闡述如何在課堂上通過拓廣探索題設計，引導學生感悟數學的“四個價值”—科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.通過跨學科教學設計的探索，建立起數學學科與地理學科之間的聯系，促進不同學科的深度融合，讓學科教學指向跨學科融合育人，從而為課堂上落實“四個價值”和融合學科育人提供參考.

關鍵詞：拓廣探索；四個價值；學科融合；跨學科教學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在基本理念中提出：高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質，不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.如何將“四個價值”落實到課堂上？人教A版《普通高中教科書數學必修第一冊》第56頁第27題是一道拓廣探索題，也是一道跨學科題目，筆者以這道跨學科習題材料為背景，設計了一節數學與地理融合的三角函數應用課，探索在數學教學中落實“四個價值”、融合學科育人的做法.

1? 教學過程

1.1? 情境引入，激發內驅

大家知道，在地球公轉過程中，太陽直射點的緯度隨時間周而復始地變化.設地球表面某地的緯度值為φ，經度值為α，正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射點的緯度（如圖1），θ，φ，δ這三個量滿足θ=90°-|φ-δ|.

這里涉及幾個地理概念：緯度φ、太陽直射點的緯度δ

、太陽高度角θ，大家是如何理解的？θ=90°-|φ-δ|是如何得到的？

用數學語言準確表達地理概念或地理現象，既簡潔直觀又便于地理原理、規律的解析和推演.

經過討論交流后，引導學生思考.對于正午太陽高度角的計算公式θ=90°-|φ-δ|，可先建立數學模型，利用直線與圓相切及角之間的關系進行推導，分直射點A與該地B在同一半球上的相對位置、直射點A與該地B不在同一半球上兩種情況進行討論.A與B位于不同半球時，當直射點與該地處在不同半球上時，δ取負值.如圖2所示，進而可得θ=90°-|φ-δ|.

圖2

【設計意圖】地理學科中有一些規律、原理以及統計圖表等，與數學知識密切相關，如果能恰當運用數學知識方法對其解析、推演，那么可以充分體現數學的“應用意識”，引領學生感悟.

1.2

問題導向，探究鋪墊

問題1? 某校“經天緯地、格物窮理”探究小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點逐漸北移的時間）為初始時間，統計了連續400天太陽直射點的緯度平均值（太陽直射北半球時取正值，太陽直射南半球時取負值）.

【設計意圖】在用數學語言理解、表達地理中的相關概念和規律的基礎上，進一步強化對的應用，同時為問題2的提出作鋪墊.

問題2 ?春分后第x天，太陽直射點的緯度平均值y與x之間有關系嗎？如果有關系的話，有怎樣的關系？

1.3

實踐探究，數學建模

上課前幾周，教師就布置地理和數學學科代表組織同學一起找地理老師查閱相關數據.課堂上，教師和學生一起展示這些數據（見表1）.

然后，教師和學生一起用擬合函數的方法分析處理這些數據，這實際上是從實際問題中提煉出數學模型的過程，也就是數學建模的過程.

打開Excel表格，輸入上面的相關數據，在A列中輸入春分后第x天，在B列中輸入太陽直射點緯度平均值y，選項中插入圖表，選擇散點圖中帶平滑曲線和數據標記的散點圖，右擊后“選擇數據”，然后在“圖表數據區域”插入數據，即得到春分后第x天時太陽直射點的緯度平均值y與x之間關系的散點圖（如圖3），從圖中我們可以看出，春分后第x天時，太陽直射點的緯度平均值y與x之間近似呈正弦型函數關系：y=Msinωx.

專家研究發現，其中M為北回歸線的緯度值，約為23.4392911.

【設計意圖】因為數學建模的過程是建模活動的關鍵，學生要有把零散的數據擬合成函數后進行分析的意識，模型探索是重點、關鍵點，是培養學生數學核心素養的著力點.因此，教師沒有直接告訴學生二者的關系，而是選擇和學生一起建模體驗探究.

1.4

數據探究，價值引領

結合上述數據，教師進一步深化學生對問題的理解，設問：你能根據前面的相關數據設計估計ω值的方法嗎？

經過討論，學生選擇問題1中數據（45，16.08）進行估計（也可以選擇其他的數據）：23.4392911·sin（45ω）=16.08，sin（45ω）≈0.68602757.

因為不是特殊角的三角函數值，需要用到反三角函數的知識，需要借助查表、計算工具才能得到結果：45ω≈arcsin0.68602757，ω≈0.9625883.

【設計意圖】通過三角函數在地理學科中的應用，體現數學應用價值.同時，問題的解決要用到反三角函數的知識，可激發學生進一步自學反三角函數知識，體現了教材“拓廣探究題”的教學功能與價值引領.

1.5

解決問題，提升能力

請大家解決下面兩個問題.

（1）定義從某年春分到次年春分所經歷的時間為一個回歸年，求一個回歸年對應的天數（精確到0.0001）；

（2）利用（1）的結果，估計每400年中，應設定多少個閏年，可使這400年與400個回歸年所含的天數最為接近（精確到1）.

【設計意圖】通過三角函數在地理學科中的應用，在探索數學模型的基礎上，利用數學模型解決地理問題，提升學生解決實際問題的能力.

1.6

拓展延伸，創新發展

教師介紹地理中的“星下點”問題，拓廣知識，培養學生的探究興趣.

我們在觀看衛星發射的電視直播時，在宇宙飛船控制中心的大屏幕上都會看到形如圖4所示的曲線，引導學生探究這些曲線是怎樣形成的.

圖4

這里就涉及星下點與星下點的軌跡問題，繞地球運轉的衛星質心和地心的連線與地球表面相交的點叫作星下點.星下點是人造地球衛星繞地球運行過程中，經過其軌道上的每一個位置時，衛星在地球表面上所形成的一個投影點.衛星繞地球運動過程中，所有星下點連成的曲線叫作星下點軌跡，人們用星下點軌跡來表示衛星在地球上空的飛行路線.探究星下點的位置就要用到反三角函數知識，三角函數在地理學科中有著重要的應用，反三角函數是解決地理等其他學科問題的重要工具，有興趣的同學可以自學相關知識，拓展自己的知識面.同時，教師要介紹中國的航天科技成果，指出“兩彈一星”精神、載人航天精神、探月精神和新時代北斗精神，納入了第一批中國共產黨人精神譜系.

2? 教學反饋

課后，教師通過個別交流等方式了解學生對這堂課的收獲與感受，學生普遍反映這堂課受益匪淺，覺得更像是對數學和地理課本知識的延伸與應用，深切地感受到數學學科能與地理學科有緊密的聯系.很多學生利用假期自學了反三角函數的知識，在圖書館、網上查找相關資料，了解數學在地理學科中的應用.

3? 教學評析

數學核心素養具有整合性、綜合性和交融性，在教學設計和組織過程中，我們要將封閉性、碎片化進行整合，進行學科融合教學.

數學的表現是抽象的、符號化和形式化的，學生在學習時首先接觸到的是概念、命題、公式、原理以及計算、證明等，這些都是處于顯性形態的，而數學的價值常常處于潛形態，這就需要教師把握數學本質，深度挖掘教材知識，精心設計課堂教學，讓學生感悟到數學的四個價值，落實數學學科育人目標.

3.1? 感悟數學的應用價值，實現思維育人

高中地理與生活密切相關，學科綜合性很強，如果能幫助學生從數學學科的視角來理解、分析和解決地理問題，往往可以很好地培養學生的數學建模能力和應用意識.這一堂課，教師基于教材上的拓廣探索題，小臺階設計，小坡度推進，在探究的過程中把學生的思維逐步引向深入，通過跨學科融合教學設計，建立起數學與地理兩個學科之間的融合聯系，讓學生感受到數學知識的應用價值，加深了學生對課程內容的理解，增強了學生數學課堂中對地理學科的體驗感，更重要的是激發了學生對新知識探索的熱情.

3.2? 感悟數學的科學價值，實現科學育人

教師帶領學生與地理老師一起收集數據，通過引導學生用擬合函數的方法來分析這些數據，從實際問題中提煉出數學模型，強化了學生數學建模的能力.通過對ω值的估計探索，讓學生感受數學邏輯推理的嚴謹性，提升學生的邏輯推理核心素養，引導學生感悟數學的科學價值.通過實際應用例題的設計，培養學生知識應用的成就感，提升數學建模、數學運算的核心素養，感悟數學的科學價值.同時，問題的解決要用到反三角函數的知識，可激發學生進一步自學反三角函數知識，培養學生的科學探究精神，體現了教材“拓廣探究題”的教學功能與價值引領.

3.3? 感悟數學的文化價值，實現文化育人

學科文化是在學科知識與學科組織的發展過程中形成的獨特的知識理論體系、思維方式、價值觀念、學科傳統、倫理規范、學科制度和行為習慣等，通過學科文化來培育學生，實質上就是“育其心”“育其行”“育其根”.通過介紹“星下點”問題，拓廣數學和地理文化知識，介紹航天科技、航天精神，讓學生增強民族自豪感和文化自信，引導學生感悟數學的文化價值，實現文化育人.

課堂是數學學科育人的主陣地，學科融合是強化課程協調育人的必要手段，是培育學生核心素養的必要途徑，是形成深層知識理解的必要環節.高中數學教材中有很多的跨學科素材，它們分布在章引言、節首的問題情境、章（節）末的閱讀材料以及例題、習題等欄目中.這些跨學科素材或是以其他學科知識為載體創設科學情境，為數學概念的建構提供認知背景，或是以數學知識為主導，運用數學知識和方法解決其他學科的問題，或運用數學眼光和思維去理解其他學科的奧秘，為用教材進行跨學科的教學組織提供了可實施的基礎.一線的數學教師在教學組織時要深入挖掘教材中蘊含的跨學科背景材料，有效地組織學科融合教學，促進不同學科的深度融合，讓學科教學指向學科融合育人.

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 章建躍，李增滬.普通高中教科書：數學（必修第一冊A版）［M］.北京：人民教育出版社，2021.

［3］ 方元沁.高中跨學科教學初探——以地理中的地震震級為例［J］.中學數學教學參考，2020（28）：56-58.

［4］ 吳忠偉.核心素養視角下的高中應用題新特點及教學策略——以新人教A版高中數學必修第一冊為例［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2021（14）：39-41.

［5］ 李敏.高中跨學科能力整合提升策略探究——以地理和數學學科為例［J］.中學地理教學參考，2018（4）：20-23.

［6］ 郭祥超.教育學的主體間學科文化及其建構［J］.教育發展研究，2014（13）：110-113+124.