“韓信點兵”是怎樣的數學問題

陳丹陽

韓信是漢初名將，民間流傳一句歇后語“韓信點兵——多多益善”，用來形容韓信的軍事才能。有意思的是，“韓信點兵”也是一個流傳很廣的數學問題。據說韓信在點兵的時候，會先讓士兵三人站成一排，記下最后多出的人數；再讓士兵五人站成一排，又記下最后多出的人數；最后讓士兵七人站成一排，同樣記下最后多出的人數。這樣他就能算出自己部隊的總人數了。

在我國，“韓信點兵”問題最早出現在南北朝時期的數學著作《孫子算經》中，叫做“物不知數”問題：“一個整數除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個整數。”這個問題因此也被稱為“孫子問題”。此類問題在現代數學中叫做“一次同余問題”，其解法稱為“中國剩余定理”或“孫子定理”。

宋代數學家秦九韶在《數書九章》中對這個問題作出了完整系統的解答，稱為“大衍求一術”。明代數學家程大位則在《算法統宗》中將它的解法編成易于上口的歌訣：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五使得知。”它的意思是：將除以三得到的余數乘以七十，除以五得到的余數乘以二十一，除以七得到的余數乘以十五，全部加起來后減去一百零五（或者一百零五的倍數），得到的余數就是最后的答案。按照這個方法，《孫子算經》中“物不知數”問題的最小答案就是二十三。