極限法在高中力學綜合題中的應用分析

周旭梅

【摘要】極限法在解決高中物理力學問題中極為常見.力學綜合題一般含有多個物理過程、多個研究對象、運用多個物理概念和規律，并且難度較大.學生在認真審題、做好受力分析和運動分析的基礎上，更需要選取一個相對比較好的解題途徑.本文重點探究極限法在力學綜合題中的處理辦法.

【關鍵詞】高中物理；解題技巧；極限法

1 引言

極限法是一種重要的解題方法.通過靈活運用極限法，學生可以更好地理解和解決物理問題，并培養學生的分析和推理能力.本文重點介紹如何利用極限法解決高中物理中常見的力學問題.

2 避免復雜計算，用極限法快速得出答案

在高中物理習題中，有一類題目如果從常規方法入手，進行大量的分析推理和計算，不但會導致耗時長而且無法保證正確率，但是如果采用極限思維，假設出情境中的極端情況，就能省去大量繁瑣的過程，很輕松地把整個物理過程梳理清晰從而得出正確答案.選擇極限法處理高中物理中的選擇題是非常便捷高效的，通過這種方法，只考慮極端的情況，就能快速解決問題.

例1 如圖1，不計滑輪質量，三個物體質量滿足m1=m2+m3的關系，起初時彈簧秤的示數為T，現把m2移到左邊的m1上面，彈簧測力計的示數T將（? ）

（A）增大.? （B）減小.

（C）不變. （D）無法判斷.

解析 將滑輪和三個物體看成一個系統.原來滑輪兩側處于平衡狀態，彈簧秤的讀數T等于下面所掛三個物體的重力之和，即：T=（m1+m2+m3）g，這是彈簧秤讀數的最大值.現在，把m2從右邊移到左邊的m1上面，左邊物體的總重力大于右邊物體的重力，即（m1+m2）g>m3g，左邊物體m1和m2將向下做加速運動，具有向下的加速度，處于失重狀態；而右邊的物體m3將向上做加速運動，具有向上的加速度，處于超重狀態.由于（m1+m2）g>m3g，且兩邊物體的加速度大小相等，則在系統中失重部分物體的質量大于超重部分物體的質量.所以，在總體上，系統處于失重狀態，彈簧秤受到向下的拉力將減小，所以選（B）.

點評 這道題如果用常規方法則避免不了大量的推導和計算，但是換一種思路，如果在極端情況下，將右側的物體全部放到左側，三個物體做自由落體運動，系統完全失重，彈簧秤的示數為0，顯然讀數會減小，因此，也可以選出正確答案（B）.

變式 如圖2，物體A以速度v沿豎直桿勻速下滑，同時物體A通過細繩拉著光滑桌面上的物體B向右運動，細繩與豎直桿間的夾角為θ，則以下說法正確的是（? ）

（A）物體B向右勻速運動.

（B）物體B向右勻加速運動.

（C）細繩對A的拉力逐漸變小.

（D）細繩對B的拉力逐漸變大.

解析 取極端情況，開始時θ=90°，物體A的速度v垂直于細繩，故vB=0，當θ→0時，vB→v′幾乎不變，加速度趨于0，而開始時vB等于0，故B向右做加速度減小的加速運動，（A） （B）錯誤；由牛頓第三定律知細繩對A的拉力大小FA等于對B的拉力大小FB，而FB=mBaB，aB減小，則FA，FB逐漸減小，（C）正確，（D）錯誤.

定量分析如下：物體A沿細繩的分速度與物體B運動的速度大小相等，有vB=vcosθ隨物體A下滑，θ角減小，vB增加，但不是均勻增加，θ越小，cosθ增加越慢，vB增加越慢，即B的加速度越來越小，由T=mBaB可知，細繩的拉力逐漸變小，故只有（C）正確.

點評 這道題取兩個特殊的極端情況則可以輕松判斷出（A） （B）是錯誤的，再看（C） （D）選項，經過定量的分析可以得出隨著物體A下滑，θ越來越小，物體B的加速度也會減小，所以細繩上的拉力也會減小.

3 無法計算，用極限法判斷解的合理性

有一些較難的問題學生無法求解，這種一般考查形式為選擇題，學生可以使用極限法判斷這些問題的選項是否合理.此外，也要警惕過度使用極限法，因為有時候真實世界中的物理系統并不處于極限狀態，因此對于較大振幅或較小周期的情況，極限法可能會產生較大誤差.

例2 如圖3，光滑的水平面上有一質量為M、傾角為θ的光滑斜面體，有一質量為m的物塊沿斜面由靜止下滑.下列選項中哪個是物塊下滑過程中對斜面壓力大小的表達式（? ）

（A）MmgsinθM－msin2θ.? （B）MmgsinθM+msin2θ.

（C）MmgcosθM－msin2θ.? （D）MmgcosθM+msin2θ.

解析 用特殊值判斷，當θ=0°時，物塊下滑過程中對斜面壓力大小應為mg，代入判斷知選項（C） （D）合要求；當θ為一定值時，（C）項的分母可能為零，顯然不符合實際情況，所以只有選項（D）正確.

點評 本題如果直接計算對于中學生來說比較困難，使用極限法，當斜面傾角為0°時，物塊對斜面的壓力應該等于自身重力mg，將θ=0°帶入選項中則可以排除（A） （B）選項.接著由于（C）選項的分母可能會為0，也可以排除，從而選出（D）.

變式 如圖4所示，光滑地面上靜置一質量為M的半圓形凹槽，凹槽半徑為R，表面光滑.將一質量為m的小滑塊（可視為質點），從凹槽邊緣處由靜止釋放，當小滑塊運動到凹槽的最低點時，對凹槽的壓力為FN，FN的求解比較復雜，但是我們可以根據學過的物理知識和方法判斷出可能正確的是（重力加速度為g）（? ）

（A）（3M+2m）mgM. ?（B）（3m+2M）mgM.

（C）（3M+2）mgM.? （D）（3m+2）mgM.

解析 小滑塊和凹槽組成的系統水平方向上動量守恒，機械能守恒，當小滑塊運動到最低點時有：mv=Mv′，mgR=12mv2+12Mv′2，由極限的思想，當M趨于無窮大時，v? ′趨近于0，凹槽靜止不動，滑塊速度為v=2gR，且小滑塊在最低點時由牛頓第二定律得，FN－mg=mv2R，解得FN=3mg，四個選項中當M趨于無窮大時，只有（A） （C）選項符合上述結論，而（C） （D）選項從量綱的角度分析是錯誤的，故（A）正確，（B） （C） （D）錯誤.

4 結語

綜上所述，極限法已經成為中學物理問題解題中的重要方法，使用極限法解題既可以節省解題時間，又可以提高正確率，可謂一舉兩得.熟練應用極限法可以加深學生對物理規律的理解，提升物理素養，更好地應對高中物理力學綜合題.

參考文獻：

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