巧用導數求解含參函數零點問題

王慧

摘要：導數是研究函數圖象和性質的重要工具，利用導數研究函數的單調性、極值與最值，證明不等式以及求解函數零點問題等都是高考常考的熱點之一.以2022年全國乙卷（理）第21題為例，研究利用導數解決含參函數零點問題的解法，并對解法進行再反思.

關鍵詞：含參函數；零點問題；導數

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0068-03

含參函數y=f（x，t）是隨參數變化而變化的動態函數，含參函數零點問題既是高考常考的熱點，也是難點.解決問題的關鍵是對參數的處理，有直接討論、分離參數兩種解決思路.本文基于這兩種思路，以2022年全國乙卷（理）第21題為例，給出三種解法，并對解法進行再反思.

1 真題再現

題目（2022年全國乙卷（理），21題）已知函數f（x）=ln（1+x）+axe-x，

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

（2）若f（x）在區間（-1，0），（0，+

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）各恰有一個零點，求a的取值范圍.

第（1）問先算出切點，再求導得出斜率，最后根據點斜式方程便可得到切線方程；第（2）問是含參函數的零點問題，函數中包含學生熟知的以e為底的對數函數和指數函數，但又包含具有變化性的參數，所以它考查學生思維的靈活性、創新性，綜合運用知識的能力以及數學運算、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.下面是對第（2）問解法的探究.

2 解法探究

2.1 直接討論法

解決函數零點問題最直接的辦法就是求導，根據導數的正負性得到函數的單調性和極值、最值的符號，進而根據零點存在性定理判斷函數零點的存在情況[1].但對于含參函數來講，它是隨參數變化而變化的動態函數，并且原函數和導數中都含有參數，所以在判斷函數單調性時，就要考慮參數對某一區間內的單調性判斷是否有影響，如果有影響，必須分類討論.

解法1（ⅰ）當a≥0時，在（0，+

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）內ln（1+x）>0，axe-x≥0，即f（x）>0.

所以f（x）在（0，+

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）內無零點，不合題意.

（ⅱ）當a<0時，f ′（x）=ex+a（1-x2）（1+x）ex，令g（x）=ex+a（1-x2），則g′（x）=ex-2ax.

顯然g′（x）在（-1，+

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）內單調遞增，且g′（-1）=e-1+2a，g′（0）=1.

（1）當g′（-1）≥0，即-12e≤a<0時，g（x）在（-1，+

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）內單調遞增，

所以g（x）>g（-1）>0，即f ′（x）>0.

所以f（x）在（-1，+

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）內單調遞增.

又f（0）=0，所以f（x）在（-1，0），（0，+

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）內都沒有零點，不合題意.

（2）當g′（-1）<0，即a<-12e時，存在x0∈（-1，0），使得g′（x0）=0.

所以g（x）在（-1，x0）內單調遞減，在（x0，+

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）內單調遞增，且g（-1）=e-1，g（0）=1+a，g（1）=e.

①當g（x）≥0，即-1≤a<-12e時，f（x）在（0，+

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）內單調遞增，所以f（x）>f（0）=0，故f（x）在（0，+

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）內沒有零點，不合題意.

②當g（x）<0，即a<-1時，存在x1∈（-1，0），x2∈（0，1）使g（x1）=g（x2）=0.

對f（x）的單調性分析見表1：

因為f（0）=0，所以f（x1）>0，f（x2）<0.

又當x→-1時，f（x）<0，當x→+

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時，f（x）>0，

所以f（x）在（-1，0），（0，+

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）內各恰有一個零點.

綜上所述，a的取值范圍是（-

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，-1）.

第（2）問處理的關鍵是在第（1）問中已算出f（0）=0，以及對參數a的分類，肯定與否定并用，否定只需說明在區間（-1，0）或（0，+

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）內f（x）沒有零點即可.

2.2 分離參數

函數的零點問題可以轉化為函數圖象與x軸的交點問題，也可以轉化為兩個函數圖象的交點問題，對于含參函數來說，通常是常函數與不含參的函數，或者是含參的一次函數與不含參的函數.

2.2.1 完全分離參數

令f（x）=ln（1+x）+axe-x=0，得到-a=ln（1+x）exx.則原問題轉化為函數g（x）=ln（1+x）exx的圖象與直線y=-a的交點問題.

解法2令g（x）=ln（1+x）exx，則

g′（x）=x-2ex［x1+x+（x-1）ln（1+x）］，

令h（x）=x1+x+（x-1）ln（1+x），

則h′（x）=x2（1+x）2+ln（1+x），

h″（x）=（x-3+2）（x+3+2）（1+x）3，

顯然h′（x）在（-1，3-2）內單調遞減，在（3-2，+

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）內單調遞增.

所以h′（x）≥h′（3-2）>0.

故h（x）在（-1，+

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）內單調遞增.

又h（0）=0，所以對g（x）的單調性分析見表2：

由極限思想可畫出y=g（x）的大致圖象.

由圖知當a<-1時，滿足曲線y=g（x）與直線y=-a在（-1，0），（0，+

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）內各有一個交點，

綜上， 符合題意的a的取值范圍是（-

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，-1）.

利用導數繪制函數g（x）的圖象，然后通過平移直線y=-a得到符合題目要求的a的取值范圍.

2.2.2 不完全分離參數

令f（x）=0，得到ln（1+x）ex=-ax.將原問題轉化為函數g（x）=ln（1+x）ex的圖象與直線y=-ax的交點問題.

解法3令g（x）=ln（1+x）ex，顯然g（x）在（-1，+

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）內單調遞增，由極限思想可畫出g（x）的大致圖象.

設曲線y=g（x）與直線y=-ax在［0，+

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）內的切點為（x0，-ax0），則有

ln（1+x0）ex0=-ax0，ex0［11+x0+ln（1+x0）］=-a.

解得x0=0，a=-1，此時曲線y=g（x）與直線y=-ax在（0，+

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）內沒有交點，在（-1，0）內有一個交點.

所以當a<-1時，滿足曲線y=g（x）與直線y=-ax在（-1，0），（0，+

SymboleB@

）內各有一個交點.

綜上，符合題意的a的取值范圍是（-

SymboleB@

，-1）.

此方法將a賦予了更明確的幾何意義——斜率，根據兩個函數在切點處的函數值和切線斜率相同，算出相切情況下a的值.此處函數g（x）比較特別，它在（0，+

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）內的圖形是凹的，而且在曲線y=g（x）與直線y=-ax相切時，以及在旋轉直線y=-ax使兩者在（0，+

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）內相交的過程中，兩者在（-1，0）內恒有交點.

3 結束語

這兩種思路都是利用導數解決含參函數零點問題的常用方法.對于這三種解法各有利弊，直接討論法是解此題型的通用方法，其關鍵是對參數的處理，需要熟練掌握一元一次、一元二次、分式、指數、對數等不等式的解法，而且有時還會涉及隱零點問題.在遇到無法求解的不等式時，通常需要二次求導來研究［2］，解題過程復雜、繁瑣，這就要求學生思維縝密細致，并且對學生的數學運算能力、邏輯推理能力等要求較高.

完全分離參數法借助數形結合，經過平移直線與曲線相交，進而得到參數的取值范圍，但是并不是所有的函數都能分離出參數.不完全分離參數法實際上也是從函數圖象入手，將零點問題轉換為兩個函數圖象的交點問題，但與完全分離參數法不同的是，它是從兩個函數圖象相切的臨界情況入手，再通過直線繞定點旋轉，得到曲線和直線相交且符合題意的情況，進而求出參數的取值范圍.需要注意的是，這種方法只適合于在整個定義域內凹凸性不變的函數，或者在某個區間凹凸性不變，在另外的區間內恒符合題目要求的函數.

參數分離法雖然避免了對參數進行分類討論，但是它是借助數形結合思想來解決問題，缺乏嚴謹性，而且在刻畫不含參部分函數的大致圖象時，會借助極限思想.而極限思想對高中生的思維來講較困難，所以這個方法更適合用于選擇題或填空題中.

在高中數學知識庫中，函數占有很大比重，而導數是其中的重中之重，并且在高考選擇題、填空題、簡答題中都有所涉及.所以這就要求教師在教學時善于使用教材進行教學，幫助學生構建完整的知識框架.另外在教學過程中，教師要有意識地培養學生設而不求、分類討論、等價轉化、數形結合等思想，以及發展學生邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學學科素養.

參考文獻：

[1]鄭傳遠，周翔.素養視角下利用導數研究函數零點個數問題的解法賞析：以2020年全國卷Ⅰ文科第20題為例[J].中學教研（數學），2021（02）：48-50.

[2] 徐凱鈺，王禎宇.函數零點問題的導數求解方法[J].中學生數學，2022（19）：11-13，10.

［責任編輯：李璟］