立足雙曲定線長路解法漫漫

張悅

摘要：對2023年高考雙曲線題進行深入研究，給出9種解法，同時挖掘出本題與極點極線背景相關的知識點，由此將雙曲線定直線的結論引申到橢圓和拋物線中.

關鍵詞：雙曲線;定直線;圓錐曲線;極點;極線

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0062-03

數學運算素養是新課程標準提出的六大核心素養之一，而圓錐曲線解題教學是培養學生數學運算素養的良好載體.它本質是一種思維模式，這種思維模式的過程包括：理解運算對象→掌握運算法則→探求運算思路→選擇運算方法→設計運算程序→求得運算結果[1].在解決圓錐曲線定線問題的過程中，最常見的解題思路是聯立直線和曲線后通過設出方程求解，本文在此基礎上，又從幾何和代數角度給出多種解題策略供讀者參考.

1 真題呈現

題目已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（-25，0），離心率為5.

（1）求C的方程;

（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，點M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P.證明：點P在定直線上.

2 解法賞析

第（1）問解法分析略，

雙曲線C的方程為x24-y216=1.下面對第（2）問進行探究.

解法1（設而求之）設lMN：x=my-4（-12

從而x1=4m4m2+3+44m2-1，x2=4-4m4m2+34m2-1.

設P（x0，y0）在定直線上，設lMA1：y=y1x1+2（x+2），lNA2：y=y2x2-2（x-2），將（x1，y1），（x2，y2）代入化簡，得x0+2x0-2=y2（x1+2）y1（x2-2）=-13，解得x0=-1.

所以點P在定直線x=-1上，

解法2（設而不求）聯立直線與曲線方程x=my-4（-12

（4m2-1）y2-32my+48=0.

由韋達定理知y1+y2=32m4m2-1，y1y2=484m2-1.

設lMA1：y=y1x1+2（x+2），lNA2：y=y2x2-2（x-2），設P（x0，y0）在定直線上，即y0=y1x1+2（x0+2），y0=y2x2-2（x0-2）.

化簡，得x0+2=y2（x1+2）y1（x2-2）（x0-2）.

其中y2（x1+2）y1（x2-2）=my1y2-2y2my1y2-6y1=-13，

從而x0+2=-13（x0-2），解得x0=-1.

解法3（先猜后證）由雙曲線的性質猜想點P在直線x=n上，當lMN斜率不存在時，M（-4，43），N（-4，-43），聯立兩條直線lMA1，lNA2，解得

x=-1，即n=-1;當lMN斜率存在時，要證y0-1+2=y1x1+2，y0-1-2=y2x2-2， 即證y1x1+2=-3y2x2-2，即證y1y2=32m（y1+y2），韋達定理代入得證.

解法4（三點共線）因為M，B，N三點共線，所以kMB=kBN，即y1x1+4=y2x2+4.

聯立方程x=x0+2y0y-2，x24-y216=1，化簡為

y·［（4（x0+2）2y20-1）y-16x0+32y0］=0，

解得y1=16x0y0+32y04x20-y20-16x0+16.

代入原式，得

x1=2y20+8x20+32x0+324x20-y20+16x0+16.

同理y2=-16x0y0+32y04x20-y20-16x0+16，

x2=-2y20-8x20+32x0-324x20-y20-16x0+16 .

代入化簡，得（x0+1）（4x20-y20-16）=0.

又因為點P不在雙曲線上，所以x0=-1，

解法5（“第三定義”）由M（x1，y1），N（x2，y2）在雙曲線上可得到

y1x1+2·y1x1-2=4，y2x2+2·y2x2-2=4.

則x+2x-2=y2x2-2·x1+2y1=4（x2+2）y2·x1+2y1=4（my2-2）（my1-2）y1y2=-13.

解法6（齊次化構造）由第三定義知kNA1kNA2=4，其中kNA2=y0x0-2.

所以kNA1=4（x0-2）y0，kMA1=y0x0+2.

所以kMA1kNA1=y0x0+2·4（x0-2）y0=4·x0-2x0+2.

將雙曲線C向右平移2個單位，得

（x-2）24-y216=1;

lMN向右平移2個單位，得-x+my2=1.

所以4x2-16x·（-x+my2）+16-y2=16.

所以（yx）2-8m（yx）-12=0.

所以4·x0-2x0+2=-12.所以x0=-1.

解法7（整體換元）聯立直線和雙曲線有

x+2x-2=x1y2+2y2x2y1-2y1.

由M，N，（-4，0）三點共線有y1x1-4=y2x2-4.

化簡，得x2y1-x1y2=4（y2-y1），①x2y1+x1y2=（my2-4）y1+（my1-4）y2

=2my1y2-4y1-4y2.②

聯立①②，得x2y1=32y2-52y1，x1y2=32y1-52y2.

則x+2x-2=x1y2+2y2x2y1-2y1=-13.

解法8（定比點差法）設MB=λBN，則-4=x1+λx21+λ，0=y1+λy21+λ，化簡得

x1+λx2=-4-4λ，y1+λy2=0.

有x214-y2116=1，③

λ2x224-λ2y2216=λ2.④

③-④，得x21-λ2x224-y21-λ2y2216=1-λ2，

解得x1=-3λ-52，x2=-5λ-32λ.

所以x0+2x0-2=x1y2+2y2x2y1-2y1=y2y1·x1+2x2-2=-13.

所以x=-1.

解法9（三角參數）設M（2secα，4tanα），N（2secβ，4tanβ），B（-4，0），因為lMB和lBN直線斜率相等，所以有

4tanα2secα+4=4tanβ2secβ+4.

即sinα1+2cosα=sinβ1+2cosβ.

即sinα2sinβ2=-3cosα2cosβ2.

所以x+2x-2=2sinβ（1+cosα）2sinα（1-cosβ）=-13.

3 延伸拓展

圓錐曲線的極點和極線定義：如圖1（以橢圓為例），點P是圓錐曲線外的一點，過點P引出兩條割線，與圓錐曲線依次相交于E，F，G，H四點，連接EH，FG，兩線交點設為點N;再連接EG和FH，兩線交點設為點M，其中直線MN稱為點P對應的極線;如果點P位于圓錐曲線上，則過點P的切線就為該點的極線.

筆者深入研究發現，定點（-4，0）和定直線x=-1類似于圓錐曲線中的極點和極線，那么基于定點定線和極點極線知識體系的統一性，將雙曲線的探究背景置換成橢圓和拋物線，得到相應結論.

結論1雙曲線（焦點在x軸）：已知雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1，記C的左、右頂點分別為A1，A2，過定點（s，0）（s≠±a，s≠0）的直線與C交于M，N兩點，直線MA1與NA2交于點P，則點P在定直線x=a2s上.

結論2橢圓（焦點在x軸）：已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），記C的左、右頂點分別為A1，A2，過定點（s，0）（s≠±a）的直線與C交于M，N兩點，直線MA1與NA2交于點P，則點P在定直線x=a2s上.

結論3拋物線（焦點在x軸）：已知拋物線C的方程為y2=2px（p>0），過定點（s，0）（s≠0）的直線與C交于M，N兩點，過M，N分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點P，則點P在定直線x=-s上.

4 結束語

大道至簡，也如同高考定直線試題有極點極線知識背景一般，將試題抽絲剝繭后抓住核心定點對應定直線，在解析幾何中可以直接利用這些結論較為快速地解題.筆者希望通過本題的多視角求解和多方面延伸，促使學生對圓錐曲線進行整體認知建構，提升數學運算核心素養.

參考文獻：

［1］?羅文力，周祝光，黃祥勇.對解析幾何中韋達化以及非對稱韋達化處理的策略分析[J].中學數學研究（華南師范大學版），2023（17）：43-46.

［責任編輯：李璟］