一道高考圓錐曲線試題多解的深度探究與啟示

安中順 余泉

摘要：以一道典型的圓錐曲線問題開展一題多解，體現其中的不同知識和多種思想方法，促進知識的融會貫通.不僅有助于提高學生推理能力和思維的發展，還有利于學生核心素養的養成.

關鍵詞：直線過定點；圓錐曲線；一題多解；數學核心素養

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0071-03

圓錐曲線中直線過定點的問題是近些年高考常考的一種題型，基本都是以壓軸題出現，人們常用“高考常青樹”來形容［1］.對于這一題型學生很難拿到較高的分數，本文以2020年高考數學全國Ⅰ卷理科第20題為例，詳細討論了本題直線過定點問題多種解法中的6種特別解法.

1 題目呈現與解答

題目已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

解析（1）

由橢圓方程E：x2a2+y2=1（a>1）可得A（-a，0）， B（a，0），G（0，1）.

所以AG=（a，1），GB=（a，-1） .

所以AG·GB=a2-1=8.

所以a2=9.

所以橢圓E的方程為x29+y2=1.

本題第（2）問中，高考參考答案解法破解難度大，需依托數學模型，強調對數學思想方法的考查，要求學生具有較高計算能力和細致、全面的思維品質.筆者從近些年的直線過定點考題中分析問題并從深度探究與教學的不同角度給出建議，用6種不同解法加以闡述.

解法1（斜率比值型）設C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.

若t≠0，設直線CD的方程為x=my+n，由題意可知-3

所以y1+y2=-2mnm2+9，y1y2=n2-9m2+9.

由此可得y1+y2=-2mnn2-9y1y2.

易求kPB=t3=3kPA.

即kPBkPA=3.即y2（x1+3）y1（x2-3）=3.

將直線方程代入得my1y2+（n+3）y2my1y2+（n-3）y1=my1y2+（n+3）（y1+y2）-（n+3）y1my1y2+（n-3）y1=3.

提取公因式，該等式一定可化為

-（n+3）（d+y1）（n-3）（d+y1）=3，

其中d=my1y2n-3=mn-3·n2-9m2+9=m（n+3）m2+9，

即-（n+3）（n-3）=3，解得n=32.

故直線CD恒過定點（32，0）.

點評斜率比值型kPAkPB=（y1-t）/x1（y2-t）/x2=x2y1-tx2x1y2-tx1=kx1x2+（m-t）x2kx1x2+（m-t）x1式子并不能完全整理為韋達定理的形式，一般稱為“非對稱韋達定理”.這時需要通過所求得的韋達定理找到x1+x2和x1·x2之間的關系，將其中一個替換，常用方法是把乘法替換成加法.這樣通過韋達定理構造互化公式，先局部互化，然后可整理成對稱型.

具體辦法之一為聯立方程后得到韋達定理：x1+x2=f（t），x1x2=g（t），m（t）（x1+x2）=n（t）x1x2代入之后進行代換消元解題，在給學生講解時注意轉化思想的引導.

解法2設點P（6，t），直線CD的方程為x=my+n，由題意可知-3

由于直線PA的方程為tx-9y+3t=0，

直線PB的方程為tx-3y-3t=0，

過A，B，C，D四點的曲線系方程可設為

λ（tx-9y+3t）（tx-3y-3t）+μ（x29+y2-1）=0.

直線CD的方程為x-my-n=0，直線AB的方程為y=0，即y（x-my-n）=0也過A，B，C，D四點，所以λ（tx-9y+3t）（tx-3y-3t）+μ（x29+y2-1）=y（x-my-n），用待定系數法求解得n=32.

故直線CD恒過定點（32，0）.

點評經過兩曲線f1（x，y）=0和f2（x，y）=0交點的一系列曲線的方程為f1（x，y）+λf2（x，y）=0.如果f1（x，y）=0和f2（x，y）=0齊次，則f1（x，y）+λf2（x，y）=0表示過兩已知曲線交點的一系列同構的曲線，如果f1（x，y）=0和f2（x，y）=0都是圓，則f1（x，y）+λf2（x，y）=0也是圓.綜合起來，可以理解為f1（x，y）=0和f2（x，y）=0相交形成了曲線系f1（x，y）+λf2（x，y）=0.

解法3（截距式）設C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t），易知

3kPA=3kAC=kPB=kBD.即3·y1x1+3=y2x2-3.

即3x2y1-y2x1=3y2+9y1.①

由橢圓第三定義知y1x1+3·y1x1-3=-19，y2x2-3·y2x2+3=-19，得

x2y1-3x1y2=-3y1-9y2.②

由①+②，得4x2y1-4x1y2=6y1-6y2.

即a=32.

故直線CD恒過定點（32，0）.

點評設A（x1，y1），B（x2，y2）為不同兩點，且AB不與坐標軸垂直，則直線AB的橫截距a=y2x1-y1x2y2-y1，縱截距b=y2x1-y1x2x1-x2，先通過猜想定點在坐標軸上，再利用截距式求解.

解法4設點P（6，t），點C（3cosα，sinα），D（3cosβ，sinβ），則

kAC=kAP=t9=sinα3cosα+3=tan（α/2）3，

kBD=kBP=t3=sinβ3cosβ-3=1-3tan（β/2）.

即tanα2·tanβ2=-13.

設CD過定點為M（m，0），

由kMD=kCM，得

m=3sin（β-α）sinβ-sinα

=3×2sin［（β-α）/2］·cos［（β-α）/2］2cos［（β+α）/2］sin［（β-α）/2］

=3cos［（β-α）/2］cos［（β+α）/2］

=3［1+tan（α/2）·tan（β/2）］1-tan（α/2）·tan（β/2）

=32.

故直線CD恒過定點（32，0）.

解法5平移使點B（3，0）→（0，0），在新坐標系下，設lC′D′：1=mx′+ny′，并將該直線代入橢圓（x′+3）29+y′2=1中得

9（y′x′）2+6n（y′x′）+6m+1=0.

故有kBD·kBC=y′1x′1·y′2x′2=6m+19=-13.

解得m=-23.

即可知新坐標系下直線C′D′恒過（-32，0）.

故直線CD恒過定點（32，0）.

點評對于圓錐曲線中的雙斜率問題， 常規方法是聯立方程結合韋達定理求解；也可以通過齊次化處理，利用齊次式解決更加方便快捷，可簡化運算，降低運算難度.

齊次化方法一般適用于兩直線斜率之和（或積）為常數的題型，可以解決與斜率之和（或積）有關的定點、定值或軌跡等問題.使用齊次化方法時，需要注意兩個關鍵步驟：

步驟1：先平移坐標系， 將定點P（x0，y0）平移至原點O（0，0），平移公式x′=x-x0，y′=y-y0，其中（x′，y′）為新坐標，（x，y）為同一點舊坐標.

步驟2：設直線l：mx+ny=1（l不過原點時這樣設，避免討論斜率是否存在，簡化了解題）與一個二次曲線C：ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0交于兩點A，B，顯然該式子是一個二次齊次式，且一定可化為Ay2+Bxy+Cx2=0的形式，即A（yx）2+B（yx）+C=0.

由韋達定理知k1+k2=-BA，k1k2=CA，解出m，n之一的值或m，n的關系，進而求得直線過定點或定斜率.

解法6設點P（6，t），則點P對應的極線方程為69x+ty=1，因點P對應的極線必過AB與CD的交點，即CD必過極線與AB的交點（32，0），故直線CD恒過定點（32，0）.

2 結束語

通過對圓錐曲線問題的深度探究，學生從“會通性通法”到“能變式解法”，再到“會創新解法”，有利于培養學生發現問題和解決問題的能力，在探究過程中讓學生的綜合素質得到發展.總之，對學生解壓軸題能力提升的探究不是一朝一夕就能完成的，也不是僅通過幾個題目的多種解法就可以強化的，它需要學生領會圓錐曲線中直線過定點或定斜率問題呈現背景的多樣性.因此，學生要注重以必備知識和方法為起點，借助模型和師生合作探究挖掘更多的探究點，從圓錐曲線性質多方面進行滲透，促進學生將直線過定點或定斜率的知識掌握得更牢固.

參考文獻：

［1］ 胡惠根.“直線與圓錐曲線位置關系”的判斷新法［J］.中學數學教學參考，2015（13）：25-27.

［責任編輯：李璟］