數軸上的動點問題的解法研究

方成

【摘要】數軸上動點問題是初一數學的一種重要題型，經常作為壓軸題出現.動點問題蘊含著豐富的數形結合、分類轉化的思想方法，對學生處理信息并轉化為數學模型的能力要求較高.關于如何解決數軸上動點問題，本文有一些思考和建議，期望能對大家有所幫助.

【關鍵詞】初中數學；數軸；動點；解題技巧

一直以來，動點問題都是中考中的重點題型，它通常是由一個大問題組成，再細化成一個個小問題.需要學生層層抽絲剝繭，由淺入深地挖掘題目中的核心條件.數軸是學生進入初中以來第一次數與形的碰撞，借助數軸感受“化數為形，化形為數”.動點問題在數軸上的應用具有明顯的綜合性，它融合了行程的概念、數與形的結合，以及分類轉化的思維方式.對這類問題解法研究應做到由易到難，分類時不重不漏，有理有據.

1 理清基礎知識

1.1 一個動點平移

在一條數軸上，我們規定向右為正，向左為負.如果一個點向右平移，只需要把這個點加上運動的距離.如果向左運動，就是減去它運動的距離.

（1）如圖1，假設點P位于原點，那么向右移動3個單位長度后達到的點A，其所代表的數值可以理解為0加上3，即3；向左移動3個單位長度得到點B，則點B代表的數值理解為0減去3，即－3.

（2）設定點P代表的數是2，當其向右移動3個單位長度后，我們得到點A，此時，點A所表達的數值可以被認為是5，這是由2加3計算得出的；向左移動3個單位長度到點B，點B所表達的數值可以被認為是-1，這是由2減去3計算得出的－1.

1.2 兩點距離

如圖2，點E與點F的距離，即線段EF的長.

（1）若點E所表示的數為2，點F所表示的數為5，則EF=5－2=3；

（2）若點E所表示的數為-2，點F所示的數為3，則EF=3－（－2）=5；

（3）若點E所表示的數為-2，點F所示的數為-4，則EF=－2－（－4）=2.

根據以上分析，我們可以得出：在數軸上，兩點之間的距離等于這兩點所對應的坐標差的絕對值，也就是右側的數值減去左側的數值.這個原則可以簡單地概括為“大數減小數”.歸納可得：若點E所表示的數為a時，點F所示的數為b，且a>b，則EF=a－b；若點E所表示的數為a時，點F所示的數為b，則EF=a－b.

1.3 中點表示法

如圖3，數軸上點P向左移動2個單位長度到點F表示的數為-1，向右移動2個單位長度到點E表示的數為3，則點P表示的數是1.由此可得，數軸上點E表示的數為a，點F表示的數為b，那么線段EF的中點P表示數為a+b2.

1.4 行程問題

當動點在數軸上移動時，我們可以將向右的移動方向定義為正方向，并將向右的移動速度定義為正速度，反之，向左的移動速度則被視為負速度.從這個角度來看，我們可以通過在起點的基礎上增加該點的移動距離確定其移動后的坐標.

2 剖析典型例題

例1 已知如圖4，數軸上點A表示的數為6，B是數軸上在A左側的一點，且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為tt>0秒．

（1）數軸上點B表示的數是；當點P運動到AB的中點時，它所表示的數是．

（2）動點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P，Q同時出發．求：

①當點P運動多少秒時，點P追上點Q？

②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？

解析 （1）運用點的平移，B在A左邊，A表示的數為6，A，B兩點間的距離為10，所以數軸上點B所表示的數為6－10=－4；P運動到AB中點，是（－4+6）÷2=1.

（2）采用方程解決此類問題，這題是行程問題中的同向追趕問題.①點P運動t秒時追上點Q，由于點P要多運動10個單位才能追上點Q，則4t=10+2t，然后解方程得到t＝5；②分兩種情況：當點P運動a秒時，不超過Q，則10+2a－4a=8；超過Q，則10+2a+8=4a；由此求解即可.

①點P運動t秒時追上點Q根據題意得4t=10+2t，解得t＝5.

答：當點P運動5秒時，點P追上點Q.

②設當點P運動a秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度，當P不超過Q，則10＋2a-4a＝8，解得a＝1；當P超過Q，則10+2a+8=4a，解得a=9.

答：當點P運動1或9秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度.

因此，解決數軸上動點問題的思想方法是含有字母的代數式表示動點的位置，再運用分類討論思想和已知條件來列方程計算．

3 明確解題思路

動點問題的解題思想是數形結合，分類轉化.著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.”簡而言之，就是在動點數學問題中要將數量關系和空間形式相結合，加以處理.

解決動點問題的第一步，審題，直接剖析問題核心，抓住動點，理清題目，畫出圖形，在多個條件中提取關鍵信息；第二步，在數軸上表示各點的坐標，并理清動點速度，時間和路程；第三步，動點在數軸上所表示的數用字母表示；第四步，借助數軸上線段長度、線段中點的代數表示方法，根據題目列出方程，并解方程.這樣就歸納出數軸上的動點問題的“通性通法”，從而幫助學生化難為易，化動為靜，分類討論，抓住動點用代數表示，以不變應萬變，尋找破題點.

理想的數學解題，教師應該認真思考自己所要傳授的數學知識點，洞穿這一知識點處于相關知識結構的環節之中，確定知識環節的來龍去脈，還要細心分析學生生成這一知識點時的心理環節，發現學生生成知識的“來龍”與“去脈”之間的本質差異［1］.數學學習的過程就是已有基礎知識的建構，生成新的知識結構，實現知識的“再生長”，從而從解題中萌生數學的思想方法，激發學生學習數學的熱情.

參考文獻：

［1］張昆，宋乃慶.初一列方程入門教學的思考與建議［J］.中學數學雜志，2014（02）：4-7.