HARA效用下考慮DC養老金帶有死亡和傷殘返還條款的最優投資問題

楊銘 夏登峰 徐文靜 韓雪偉

摘要：考慮了一個帶有死亡和傷殘返還的DC型養老金計劃的最優投資問題。以終端財富期望效用最大化為目標，利用動態規劃原理建立相應的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，在雙曲絕對風險厭惡（HARA）效用函數下得到最優解，通過數值模擬分析重要參數對最優投資策略的影響。

關鍵詞：DC型養老金模型；死亡返還；傷殘返還；HARA效用；HJB方程

中圖分類號：F830.59文獻標志碼：A文章編號：1001-2443（2024）02-0112-06

引言

當前，人口老齡化問題影響著社會保障體系的可持續性，凸顯了養老管理的重要性。 固定繳款（Defined Contribution， DC）養老金計劃是養老金計劃的主要類型之一，與固定收益（Defined Benefit， DB）養老金計劃相比，DC養老金計劃在減輕壓力方面具有明顯的優勢，它將經濟和壽命風險從發起人轉移到退休人員身上。 在DC養老金計劃中，成員持續向養老基金繳納預定數額的錢或其工資的固定比例，并根據基金投資組合的回報，在退休時領取福利。

Vigna和Haberman［1］ 開創性的提出了離散養老金，隨著時間推移讓投資經理找到每年的最優投資策略；Thomson［2］ 研究了期望效用最大化理論，并且首次采用連續時間隨機動態規劃方法獲得到了養老金參與者退休前的最優投資策略；Devolder等［3］ 在Asset-Liability-Management（ALM）約束下求得最優投資策略；Deelstra等［4］ 基于Cox-Ingersoll-Rossmodel（CIR）利率引入最低保障，得到終端財富必須大于最低保障的最優投資策略； Gerrard等［5］ 應用隨機最優控制研究了養老金參與者定期定量提取金額的最優投資策略；Xiao等［6］ 巧妙地利用勒讓德變換和對偶理論，找到了DC養老計劃最優策略的顯性解；Shao等［7］ 研究了在混合隨機波動模型下考慮通貨膨脹風險和隨機工資的DC型養老金最優投資策略。

另外在效用函數理論研究中，Boulier等［8］ 在常系數相對風險厭惡（CRRA）冪效用函數下探析了擔保福利在隨機利率下的最優管理問題；Cairns等［9］ 在冪效用函數下對比了不可對沖的工資風險的最優資產配置策略；李春麗和蔡玉杰［10］ 在對數效用函數下研究了資產組合的最優長期投資和最優消費問題；Gao［11］ 在常系數絕對風險厭惡（CARA）指數效用函數下采用了擴展的幾何布朗運動的恒定方差彈性（CEV）模型研究了DC型養老的最優投資組合問題；常浩等［12］ 將最優控制理論與勒讓德變換－對偶理論相結合得到了最具代表性的HARA效用下的DC養老金的投資方案；馬娟［13］ 在股票價格服從Heston隨機波動率模型下研究了帶有HARA效用函數的資產負債管理問題。

同時在實際研究過程中我們發現，當涉及到養老金計劃的設計時，死亡率是一個至關重要的參數，具有極強的現實意義，于是不少的DC養老金計劃都為此設計保費返還條款，以此來保護退休前發生意外的成員的權益。 在這類保費返還條款中，死亡的成員可以按照預先簽訂的合同以約定好的金額返還保費，這之間產生的差額將在幸存的成員中均額分配。因此，基金規模的變化不僅會受到金融市場的影響，還受到參保成員死亡風險的影響。 據我們所知，He和Liang［14］ 首先將保費返還條款引入到DC養老金計劃的資產配置中；Li等［15］ 考慮了具有違約風險的恒定方差彈性（CEV）模型中的保費返還條款；在多期框架下，Bian等［15］ 討論了保費返還條款和DC養老金計劃中的制度和轉換現象的影響；陳佳辰等［17］ 首次在帶有保費返還條款的DC養老金中考慮投保人傷殘意外情形。

本文在王遠野等［18］ 研究結果的基礎上，引入投保人意外傷殘情形，為了保障這類投保人的權益，應當給予意外返還。在HARA效用函數下，得到投保人發生死亡和傷殘情形下帶有保費返還的最優投資策略，最后通過數值模擬分析重要參數對該最優策略的影響。

1 建立模型

設定[（Ω，?，?tt≥0P）]是一個完備概率空間，[?t]為市場上截止到時刻[t]的信息流，所有隨機過程均為[{?t，t∈[0，T]}]適應的。市場上有一種風險資產（股票）和另外一種無風險資產（債券）兩種資產被基金管理者選擇。

無風險資產[S0]在[t]時刻的價格過程為

其中，[r（t）]是在[t]時刻的市場無風險利率。

風險資產被定義為[S1]，[t]時刻的價格過程服從幾何布朗運動

在DC型養老金模型中，設在積累階段養老基金的持有者單位時間內繳納的保費為[L]，初始時刻為[ω0]，終止時刻[ω0+T]。在這個時間段[[0，T]]內，管理者為了使得基金財富值增加，會以投資比例分別為[π（t）]和[1-π（t）]投資在股票和債券上獲取收益。基金持有者在退休時領取福利，為了保障在累積階段發生死亡以及未死亡但存在傷殘情形的基金持有者的權益，本文將保費返還引入養老金計劃。死亡的投保人可以獲得合同上約定的賠償，同理，當被保險人發生身體傷殘事故時，也可以獲得一定的賠償。假定[M]是合同約定的死亡賠償，[Δtqω0+t]表示年齡為[ω0+t]的人在時間段[[ω0+t，ω0+t+Δt]]內死亡的概率。當基金持有者死亡，基金賠付值與積累值的差額將在存活基金持有者賬戶進行平均分配。意外傷殘賠付，由一個復合泊松過程進行刻畫，此時投保人沒有死亡，賠付后的差額將不會在存活的基金持有者賬戶上進行分配。

2 HJB方程和最優投資策略

3 數值分析

本節進行數值模擬分析，分析重要參數對于最優決策的影響。本文參數設定參考陳佳辰等［17］ 和王遠野等［18］ 研究結果的數值設置，本文的參數設置如下表。

4 總結和展望

本文考慮了一個帶有返還條款的DC型養老金計劃的最優投資問題，保障了發生死亡和傷殘情形基金持有者的權益。通過數值模擬分析了重要參數對最優投資策略的影響，結果表明模型參數對投資策略的影響符合實際市場，具有一定的經濟意義。鑒于通脹對經濟影響較大，本文將進一步研究，考慮通貨膨脹對最優投資策略的影響。

參考文獻

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Optimal Investment Problem for DC Pension Plan with the Death and Disability Return Clause under HARA Utility

YANG Ming， XIA Deng-feng， XU Wen-jing， HAN Xue-wei

（School of Mathematics-Physics and Finance， Anhui Polytechnic University， Wuhu 241000， China）

Abstract： This paper considers the optimal investment problem of a DC pension plan with death and disability returns. Taking the utility maximization problem of terminal wealth expectation as the goal， the corresponding Hamilton Jacobi Bellman （HJB） equation is established by using the principle of dynamic programming. The optimal solution is obtained under the Hyperbolic Absolute Risk Aversion （HARA） utility function， and the impact of important parameters on the optimal investment strategy is analyzed through numerical simulation.

Key words： DC pension model; death return; disability return; HARA utility; HJB equation

（責任編輯：馬乃玉）