用運動的分解法處理兩道粒子擺線運動高考真題

羅章 彭知文

摘要：在中學物理問題中，帶電粒子在正交電、磁場中運動，即在復合場中的運動，比較復雜.這種運動也稱為擺線運動或滾輪線運動.本文從運動的合成與分解的角度，巧妙解決了該復雜運動.結合2023和2013年兩道高考真題給出的情景，運用本文所述方法快速解答.

關鍵詞：粒子運動；復合場；運動的合成與分解

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0109-03

一個物體的實際運動往往同時參與幾個運動，我們把這幾個運動叫作實際運動的分運動，把這個實際運動叫作分運動的合運動.復雜的曲線運動往往不好理解或者定量分析，但是如果能化曲為直或者化繁為簡，則有助于對物體運動的深入理解.解決帶電粒子擺線運動的方法可稱為“速度補償法”，也稱為“速度構造法”.這一方法將復雜的擺線運動分解為勻速圓周運動以及勻速直線運動[1].1 問題的提出

如圖1所示，金屬空腔內部加上垂直紙面向里的勻強磁場及垂直極板向下的勻強電場，兩端開有在同一水平直線上的小孔.這樣，將帶正電荷q的粒子沿水平方向打入左端小孔時，該裝置便能選擇出v=EB的粒子.對此，一般的解釋是：

當v=EB時，有qE=qvB，粒子在豎直方向上受力平衡，則沿直線運動直至從右孔射出；

當v>EB時，有qE

當vqvB，則粒子向下偏.

這樣，就達到了選擇的目的.但是，那些v≠EB的粒子將何去何從？它們的運動軌跡將會是什么樣子？

2 解決問題的辦法

下面，介紹一種處理辦法——運動的合成與分解法.

假設v>EB，令v=v1+v2=EB+（v-EB），即把v看成兩部分速度的合成.對于v1=EB，其產生的洛倫茲力與電場力平衡，因此這部分速度保持恒定，粒子參與一個x軸方向的速度為v1=EB的勻速直線運動；對于v2=v-EB，使粒子參與一個以x軸為切線、R=m（v-E/B）qB為半徑的逆時針方向上的勻速圓周運動.其運動分解情況如圖2所示.

更一般地，當v≠EB時，帶電粒子在xOy平面內參與了兩個運動，一個是x軸方向上的速度為EB的勻速直線運動，另一個是以x軸為切線、以mv-E/BqB為半徑的逆時針方向的勻速圓周運動，其在y軸方向上的最大位移為2mv-E/BqB.由此可以判定，速度選擇器所選擇的是速度v=EB及v=EB附近一定范圍的粒子.因為速度選擇器的孔徑是有一定限度的，當其半徑大于2mv-E/BqB時，粒子便會被選擇出來.因此，為使儀器精良，兩側小孔要盡量小.而未被選擇的粒子可能打在上下兩側壁上，也可能打在左右兩側壁上.由于粒子參與兩個運動，一個為EB的勻速直線運動；另一個為勻速圓周運動，其周期為2πmqB，所以，粒子在x軸方向每移動2πmEqB2便到達x軸即兩側小孔連線一次.而實際制作時，兩側小孔的距離不等于2πmEqB2的整數倍，以排除粒子“誤”出小孔的可能.

下面用此法來解決兩道高考真題.

3 高考真題的處理

例1（2023年高考江蘇卷）霍爾推進器某局部區域可抽象成如圖3所示的模型.Oxy平面內存在豎直向下的勻強電場和垂直坐標平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B.質量為m、電荷量為e的電子從O點沿x軸正方向水平入射.入射速度為v0時，電子沿x軸做直線運動；入射速度小于v0時，電子的運動軌跡如圖3中的虛線所示，且在最高點與在最低點所受的合力大小相等.不計重力及電子間相互作用.

（1）求電場強度的大小E；

（2）若電子入射速度為v04，求運動到速度為v02時位置的縱坐標y1；

（3）若電子入射速度在0

解析（1）由題知，入射速度為v0時，電子沿x軸做直線運動，則有

eE=ev0B

解得：E=v0B

（2）電子在豎直向下的勻強電場和垂直坐標平面向里的勻強磁場的復合場中，由于洛倫茲力不做功，且由于電子入射速度為v04，則電子受到的電場力大于洛倫茲力，則電子向上偏轉，根據動能定理有：

eEy1=12m（12v0）2-12m（14v0）2

解得：y1=3mv032eB

（3）若電子以v入射時，設電子能達到的最高點位置的縱坐標為y，則根據動能定理有

eEy=12mv2m-12mv2

由于電子在最高點與在最低點所受的合力大小相等，則在最高點有

F合=evmB-eE

在最低點有：

F合=eE-evB

聯立有：vm=2EB-v、y=2m（v0-v）eB

要讓電子達縱坐標y2=mv05eB位置，即y≥y2

解得v≤910v0

則若電子入射速度在0

下面另解第（3）問：設以v1入射時恰好能到達y2=mv05eB，將粒子分解為沿x軸速度為v0的勻速運動和以y22為半徑，（v0-v1）為速率的勻速圓周運動.則

y22=m（v0-v1）eB

可以解得：v1=0.9v0.后續分析與前面相同.

例2（2013年高考福建卷）如圖4，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B.讓質量為m，電荷量為q（q>0）的粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場中.不計重力和粒子間的影響.

（1）略；（2）略；

（3）如圖5所示，若在此空間再加入沿y正向、大小為E的勻強電場，一粒子從O點以初速度v0沿y軸正方向發射.研究表明：粒子在xOy平面內做周期性運動，且在任一時刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的坐標成正比，比例系數與電場強度大小E無關.求該粒子運動過程中的最大速度vm.

解析帶電粒子的初速度v0沿y軸正方向，而在x軸方向上速度為零.我們可以將速度為“零”分解為向右和向左的兩個等大反向的速度，向右的速度產生的洛倫茲力與電場力平衡，則：

qv右B=qE

因此向右的速度保持恒定，粒子參與一個x軸方向上的速度為v右=EB的勻速直線運動；而向左的速度v左=EB與y軸正方向的速度v0合成后的速度v=（EB）2+v20，使得粒子參與一個半徑r=mvqB的順時針方向的勻速圓周運動.

當粒子運動到最高點時，圓周運動的線速度也向右，則粒子在該點的實際速度就是粒子運動過程中的最大速度，所以

vm=v右+v=EB+（EB）2+v20

采用“零”分解法處理該題，巧妙地將復雜的螺旋線運動等效為勻速直線運動與勻速圓周運動的合成，直觀而且深刻.

4 結束語

帶電粒子在復合場中的運動是一類相當復雜的問題，尤其是做擺線或滾輪線運動，還經常出現在高考真題中，用以考查學生的核心素養.處理這類運動通常有“運動的分解與合成法”和“相對運動法”以及“微積分法”.用中學生普遍易于接受的運動的合成與分解的角度展開分析：確定分運動為圓周運動的分速度的方向，從而得出初末位置及速度偏轉角，進而得出運動時間和兩分運動的分位移[2].本文提供了快速解答2023年和2013年高考真題的思路.

參考文獻：

[1]俞超，黃晶.“速度補償法”解決粒子復雜運動時的運動獨立性分析[J].物理教學，2019（4）：66-67，45.

[2] 王鑫.“利用運動分解分析擺線運動中一般過程的時間和位移問題”[J].物理教學，2021（5）：43，62-63，67.

［責任編輯：李璟］