平面一般二次曲線的垂徑定理及其應用

鐘德光 肖柔敏

摘要：利用高中數學的“點差法”得到平面一般二次曲線的垂徑定理，該結果給出圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及雙直線的垂徑定理的一種統一形式.作為應用，給出了一道2022年江西數學競賽預賽試題的一種簡單解法.

關鍵詞：垂徑定理；圓錐曲線；二次曲線；點差法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0065-03

垂徑定理是圓的一個重要性質，它在橢圓、雙曲線以及拋物線都有類似的推廣.目前為止，中小學數學關于橢圓、雙曲線以及拋物線的垂徑定理的討論都是零散的，因此，尋找圓錐曲線的垂徑定理的統一形式有著重要意義.

1 圓的垂徑定理及其在圓錐曲線中的推廣

命題1設O是坐標原點，且設直線l與圓O相交于A，B兩點，點D為線段AB中點.在直線OD的斜率存在且不為零的情況下，則有

kOD·kAB=-1.

圓的上述解析版本的垂徑定理已經在圓錐曲線中得到推廣，見文獻[1-3].

在文獻[1-3]中，他們給出了橢圓、雙曲線和拋物線的垂徑定理：

命題2（橢圓的垂徑定理） 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）與斜率存在且不為零的直線l相交于M，N兩點，設MN中點為P（x0，y0），則有kMN·kOP=-b2a2.

命題3（雙曲線的垂徑定理） 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>b>0）與斜率存在且不為零的直線l相交于M，N兩點，設MN中點為P（x0，y0），則有kMN·kOP=b2a2.

命題4（拋物線的垂徑定理） 已知拋物線y2=2px（p>0）與斜率存在且不為零的直線l相交于M，N兩點，設MN中點為P（x0，y0），則有kMN·y0=p.

命題5設有心二次曲線Ax2+By2=1（A>0且B>0，或者AB<0）與斜率存在且不為零的直線l相交于M，N兩點，設MN中點為P（x0，y0），則有kMN·kOP=-AB.

2 關于圓錐曲線垂徑定理的一些問題

我們知道，命題5是關于有心二次曲線的垂徑定理，它給出命題1～3的一種統一形式.實際上由解析幾何知識可知，有心二次曲線不但包括圓、橢圓以及雙曲線，還應該包括相交的雙直線.因此，命題5并非完整地給出有心二次曲線的垂徑定理.于是我們自然提出如下問題：

問題1相交的雙直線的垂徑定理是什么？

問題2有心二次曲線與拋物線的統一垂徑定理是什么？

此外，命題1～5都是對于方程是標準的二次曲線的垂徑定理，因此，若該二次曲線的方程不是標準的，比如橢圓5x2-6xy+5y2-62x+22y-4=0，則其相應的垂徑定理應該是怎樣的？設平面一般二次曲線方程為：

a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0， ①

其中，系數滿足a1，b1，c1，d1，e1，f1∈R，且a12+b12+c12≠0.由于平面上的圓、橢圓、雙曲線、雙直線以及拋物線的標準或非標準方程都具有①的形式，因此上述問題可以總結為如下的問題3：

問題3設平面一般二次曲線方程為

a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0，

其中a1，b1，c1，d1，e1，f1∈R，且a12+b12+c12≠0，則相應的垂徑定理如何？

3 平面一般二次曲線的垂徑定理

本文我們主要給出問題3的答案，我們找到了如下的定理1.事實上，此結果可由文獻[4]第203頁的推論得到.但是，文獻[4]對于該推論的證明涉及到一般二次曲線的漸近方向，該概念在高中數學未提及.為了使所涉及的方法不超出高中數學的范疇，在此我們利用高中數學常用的“點差法”給出該結果的一個證明.

定理1設斜率存在的直線y=kx+m與平面一般二次曲線①相交于互異的M，N兩點，且設線段MN中點為Q（x0，y0），則直線MN的斜率kMN滿足關系式

（b1x0+2c1y0+e1）·kMN+2a1x0+d1+b1y0=0.②

證明設M，N坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）.由于點M，N在平面二次曲線①上，故有

a1x21+b1x1y1+c1y21+d1x1+e1y1+f1=0，③

a1x22+b1x2y2+c1y22+d1x2+e1y2+f1=0.④

將③式減去④式，并且整理可得

a1（x21-x22）+b1（x1y1-x2y2）+c1（y21-y22）+

d1（x1-x2）+e1（y1-y2）=0.⑤

由于點M，N在直線MN上，故有

x1y1-x2y2=x1（kx1+m）-x2（kx2+m）=k（x21-x21）+m（x1-x2）.⑥

將⑥代入⑤并且整理，可得

（a1+b1k）（x21-x22）+c1（y21-y22）+（d1+b1m）·（x1-x2）+e1（y1-y2）=0.⑦

由于M，N互異，故x1≠x2.

因此，將⑦式兩邊除以x1-x2并且整理，可得

（a1+b1k）（x1+x2）+c1（y1+y2）y1-y2x1-x2+d1+b1m+e1y1-y2x1-x2=0.⑧

注意到k=kMN=y1-y2x1-x2，2x0=x1+x2和2y0=y1+y2，將它們代入⑧式，可得

2x0（a1+b1kMN）+2c1y0kMN+d1+b1m+e1kMN

=0.⑨

由于點Q（x0，y0）在直線MN上，

故y0=kMNx0+m.

解得m=y0-kMNx0，代入⑨并整理，得

（b1x0+2c1y0+e1）·kMN+2a1x0+d1+b1y0=0.

4 定理1對于命題1～5的推導

現在我們利用定理1的結果推出命題2.而命題1以及命題3～5的情形可類似給出，有興趣的讀者可自行檢驗，在此我們不再詳細推導.

容易知道此時命題2中的橢圓方程的一般形式可以寫成

x2a2+y2b2-1=0.

即a1=1a2，b1=0，c1=1b2，d1=e1=0，f1=-1.

根據定理1，此時直線l的斜率kl滿足方程

（0x0+2b2y0+0）·kl+2a2x0+0+0y0=0.

即2·1b2y0·kl+2·1a2x0=0.

化簡即可得到kMN·kOP=-b2a2.

5 平面一般二次曲線垂徑定理的應用

題目（2022年全國高中數學聯賽江西省預賽試題第2題）若一直線l被另外兩條直線l1：4x+y+6=0與l2：3x-5y-6=0所截得的線段的中點恰好是原點，則直線l的方程為.

分析將直線l和直線l1的交點假設為（a，b），則根據條件可知點（-a，-b）在直線l2上.因此，有4a+b+6=0和-3a+5b-6=0.聯立這兩個方程可得a+6b=0，從而得出直線l方程為x+6y=0.考慮到相交的雙直線是平面二次曲線①的一種，且題意涉及弦的中點，因此可以考慮平面一般二次曲線的垂徑定理.

解析（雙直線垂徑定理法）將雙直線l1：4x+y+6=0與l2：3x-5y-6=0寫成平面二次曲線的形式，可得（4x+y+6）（3x-5y-6）=0，即

12x2-17xy-5y2-6x-36y-36=0，

其中a1=12，b1=-17，c1=-5，d1=-6，e1=-36，f1=-36，x0=y0=0.代入定理1，即可得到關于直線l的斜率k的一個關系式為-36k-6=0，解得k=-16.

又因為直線l經過原點，故直線l的方程為y=-16x或者x+6y=0.

評注上述例題需要我們知道平面上的兩條相交直線l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0可寫成二次曲線的形式：

（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0.

此外，與命題1～5的情形不同，上述例題的雙直線的中心并不在原點處.這體現了定理1在處理一般二次曲線的垂徑定理相關問題中所顯示出來的優勢.

6 結束語

總之，我們找到了橢圓、雙曲線以及拋物線的垂徑定理.其實，我們用高中數學常用的“點差法”證明了更加一般的結果，即定理1.該結果給出了圓、橢圓、雙曲線、拋物線甚至雙直線的垂徑定理的一種統一形式.此外，定理1對于直線斜率等于零，以及對于中心不在原點處的圓錐曲線亦成立，這導致了定理1的使用范圍更加廣泛.

參考文獻：

[1]盧會玉.圓錐曲線中的垂徑定理[J].數理化解題研究，2021（31）：44-46.

[2] 張小凱.有心圓錐曲線的“垂徑定理”[J].中學數學研究，2006（08）：23-24.

[3] 陳愛榮.垂徑定理在圓錐曲線中的推廣和運用[J].中學數學研究，2008（01）：18-19.

[4] 呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.

［責任編輯：李璟］