對導數求參數取值范圍問題解法的探究

孫璪 王宇航

摘要：利用四種解法來解決2023年全國甲卷理科壓軸題，總結了導數中求參數取值范圍問題的不同解法.其中分類討論、分離參數是常見的方法，必要性探路是優法，泰勒展開是從高等數學的角度解決問題，更能揭示題目的本質.

關鍵詞：取值范圍；必要性探路；泰勒展開

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0056-03

近年高考導數壓軸題中求參數取值范圍問題的題目出現頻次較高，其中以特殊函數ex與lnx為背景的題目考查較多，但是2023年全國甲卷的導數壓軸題以三角函數為背景，大有反套路、考能力的趨勢.因此，如何找到求導數取值范圍問題的通性通法顯得尤為重要.

1 解法概述

分類討論常常是解決該問題的一種通法.該方法一般是構造函數，然后通過求導、分類討論、分析其單調性.

分離參數往往是解決該問題的一種重要方法，分離參數在解決恒成立問題時可以有兩個角度：全分離和半分離.全分離是將含參表達式中的參數從表達式中完全分離出來，使所研究的函數由動態變為定態，進而可得到新函數的圖象、性質（最值），將求參數的范圍問題轉化為求函數的最值或值域問題.半分離是將不等式變形為ax+b≥f（x）或ax+b≤f（x）的形式（其中a為參數，b為常數），然后畫出圖象，由圖象的上下位置關系得到不等式，從而求得參數的取值范圍.

必要性探路是解決該問題的一種妙法.必要性探路是指對某些與函數有關的恒成立問題，通過選取函數定義域內的某些特殊值，先得到一個必要條件，初步獲得參數的范圍，再在該范圍內進行討論，或去驗證其充分性，進而得到參數的準確范圍的方法.在驗證其充分性的時候，往往需要結合“矛盾區間”進行說明.

泰勒展開是解決該問題的一種優法，許多高考題的命制如含有ex與lnx的題目，通常都是把其函數的泰勒展開式的幾項進行直接變形，或取倒數、對數進行演繹變形，然后再結合添加參數設計而成.具有泰勒公式背景的高考數學試題大致可以分成兩類問題，一類是根據不等式恒成立求解參數范圍，一類是證明不等式恒成立［1］.

2 解法探討

題目已知f（x）=ax-sinxcos3x，x∈（0π2）.

（1）當a=8時，討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）

2.1 分類討論，直面問題

本題的背景是三角函數，可通過構造函數用含參討論法，討論a在不同取值范圍函數的單調性，從而知道所構造函數在定義域的最大值和零的大小關系.

因為f（x）

接下來對函數g（x）求導，并討論其單調性.

g′（x）=f ′（x）-2cos2x，即g′（x）=2-4cos2x+2cos2x-3cos4x+a.令cos2x=t（0

即h′（t）=-2（t-1）（2t2+2t+3）t3.

又00.故h（t）在（0，1）上單調遞增，則h（t）

①若a∈（-

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，3］，a-3≤0，h（x）≤0，即g（x）在（0，π2）上單調遞減.又g（0）=0，所以g（x）<0.

所以當a∈（-∞，3］，f（x）

②若a∈［3，+

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），當t→0，2t-3t2=-3（1t-13）2+13，所以h（t）→-

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.當t→1，h（1）=a-3，又a-3>0，h（1）>0，所以? t0∈（0，1），使得h（t0）=0，即? x0∈（0，π2），使cosx0=t0.

當t∈（t0，1），h（t）>0，即t0

00，即g（x）單調遞增.所以當x∈（0，x0），g（x）>g（0） .又g（0）=0即g（x）>0，不合題意.

綜上，a的取值范圍為（-∞，3］.

2.2分離參數，數形結合

本題采用“半分離參數”法較為合適，可把條件f（x）

若f（x）

令m（x）=sin2x+sinxcos3x，即ax

即m′（x）=2cos2x+cos2x+sin2x（3-2cos4x）cos4x.

又3-2cos4x>0，故m′（x）>0.

即m″（x）=8sinxcos2x（1-cos4x）+12sin3xcos5x.

又1-cos4x>0，故m″（x）>0.因此m（x）在（0，π2）上是單調遞增的凹函數.

又y=m（x）過原點且在原點處的切線斜率為m′（0）=3，又直線y=ax過原點且斜率為a，若要y=ax在y=m（x）圖象的下方，則a≤3.即a的取值范圍為（-

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，3］.

2.3 必要性探路，降低討論

必要性探路是先考慮函數的端點，再結合“矛盾區間”得出參數的取值范圍的方法.“端點效應+矛盾區間”是一個完整的解題過程，其重點在于“矛盾”而非“端點”.缺少“矛盾區間”說明的解法，得到的僅僅是一個必要條件，顯然過程是不完整的.

若f（x）0.

令g（x）=sin2x+sinxcos3x-ax，g（x）>0對任意0

又g（0）=0，則g（x）>g（0）對任意0

g′（x）=2cos2x-2sin2x+cos2x+3sin2xcos4x-a，

g″（x）=8sinxcos2x（1-cos4x）+12sin3xcos5x，

且g″（x）>0，

故g′（x）在（0，π2）上單調遞增.

所以g′（x）≥0，即3-a≥0.

①若3-a≥0，即a≤3時，g′（x）>0，x∈（0，π2），g（x）在（0，π2）上單調遞增，故g（x）>g（0）.則g（x）>0在x∈（0，π2）恒成立.

②若3-a<0，即a>3時，又g′（x）在（0，π2）上單調遞增，且x=0時，g′（0）<0，x→π2時，cosx→0，g′（x）→+

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，所以存在x0∈（0，π2）使g′（x0）=0.則當x∈（0，x0）時，g′（x）<0.因此g（x）在（0，x0）上單調遞減.又g（0）=0，故x∈（0，x0）時，g（x）<0不符合題意.

2.4 泰勒展開，揭示本質

由泰勒展開式，我們可以得到：

sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）nx2n+1（2n+1）！+o（x2n+1），

cosx=1-x22！+x44！-…+（-1）nx2n（2n）！+o（x2n），

tanx=x+x33+x55+…+x2n+12n+1+o（x2n+1）.

由sinxcos3x=1cos2x·sinxcosx=sin2x+cos2xcos2x·tanx=tan3x+tanx，

由sin2x>f（x），得sin2x+tan3x+tanx-ax>0.

因為sinx>x-x36，則

sin2x>2x-（2x）36，x∈（0，π2）.

又因為 tanx>x，則tan3x>x3，x∈（0，π2）.

故sin2x+tan3x+tanx-ax>2x-43x3+x3+x+x33-ax.

即sin2x+tan3x+tanx-ax>3x-ax.

①若a≤3，則3x-ax≥0.故sin2x+tan3x+tanx-ax>0在x（0，π2）恒成立.

②若a>3，同必要性探路解法.

點評

在本題中tanx與sin2x都是用泰勒展開式展開到兩階.事實上“端點效應”與泰勒展開式之間有一定聯系，一般端點效應求導求到幾階，泰勒展開就到幾階.其實所有的端點效應都是按照泰勒展開來命題的.本題的命題背景應該是利用泰勒展開構造了不等式

［sin2x-2x+16（2x）3］+（tan3x-x2）+（tanx-x-13x3）+（3-a）x>0，

然后命制出第二問：若已知sin2x>f（x）求參數a的范圍.

3 結束語

處理導數中的參數取值范圍問題有四個層次，正如本題的不同解法反映了不同的思維水平一樣.學習導數的第一層次是“直接求導，分類討論”，第二層次是“參變分離，數形結合”，第三層次是“端點效應，降低討論”，第四層次是“泰勒展開，揭示本質”.如果學生解題總是只停留在第一層次就會自我設限，畫地為牢，沒有探究到導數的精髓.因此，我們倡導去探究通法通解，不被題目背景的表象所迷惑，去接近問題的本質.

參考文獻：

［1］ 李尚志.高考借題發揮（Ⅱ）：泰勒展開[J].數學通報，2022，61（09）：1-6，16.

［責任編輯：李璟］