利用“瓜豆原理”模型分析軌跡問題

陳禮弦

摘要：文章立足于初中數學教學實踐，針對軌跡問題這一中考難點，利用“瓜豆原理”模型巧妙分析軌跡問題的求解思路，目的在于幫助初中數學教師及學生找到應對軌跡問題的正確思路，提高學生分析問題和解決問題的能力，進而提升其數學核心素養.

關鍵詞：初中數學；軌跡問題；“瓜豆原理”模型

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0017-03

在初中數學教學中，軌跡問題是教學的難點，也是核心素養重點考查對象.根據筆者多年的教學經驗，引導學生弄清楚“瓜豆原理”模型，利用其分析軌跡問題，會收到事半功倍的效果.

“瓜豆原理”是一種數學問題的形象描述，即若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同.其中，主動點叫作“瓜”，從動點叫作“豆”.如果“瓜”在直線上運動，那么“豆”的運動軌跡也是直線；如果“瓜”在圓周上運動，那么“豆”的運動軌跡也是圓.這種主從聯動軌跡問題被稱為“瓜豆原理”或“瓜豆模型”，在某一個特殊位置，就是我們要解決的軌跡問題[1].

1 模型一動點在直線上運動

這類問題的基本特點是主動點在直線上運動，從動點的運動軌跡也是直線.其結論主要有兩個：一是主動點和從動點所在直線的夾角是一個定值；二是主動點和從動點軌跡長度之比值是一個定值.

1.1 模型分析

例1如圖1，G為線段EF一動點，D為定點，連接DG，取DG中點H，當點G在EF運動時，畫出點H的運動軌跡.

解析如圖2，線段IJ即為點H運動的軌跡，理由如下：連接DE，DF.因為當點G在點E處時，點H在點I處，當點G在點F處時，點H在點J處，所以點I是DE的中點，點J是DF的中點，所以IJ∥EF，所以IJ=12EF， 所以IJEF=12，所以在運動過程中，主動點G和從動點H所在的直線DG和DH的夾角是0°（定值），主動點G和從動點H的軌跡長之比值是12（定值）.從而可知主動點G運動的軌跡是線段，從動點H運動的軌跡也是線段.

例2如圖3，△DEF是等腰直角三角形，∠EDF=90°且DE=DF，當點E在線段MN上運動時，畫出點F的運動軌跡.

解析如圖4，線段F′F″即為點F的軌跡. 取點F的起始位置F′和終點位置F″，連接即得點F軌跡為線段F′F″.因為主動點E和從動點F所在直線DE和DF的夾角為90°，易證△MND≌△F′F″D，主動點E和從動點F的軌跡長之比值等于MN∶F′F″=1，所以點E、F的軌跡是同一圖形.

1.2 模型應用

例3如圖5，矩形DEFG中，DE=3，DG=4，點H在邊DG上且DH∶HG=1∶3.動點I從點D出發，沿DE運動到點E停止.過點H作HK⊥HI交射線EF于點K，設J是線段HK的中點.求在點I運動的整個過程中，點J運動的路徑的長.

解析如圖6，當I與D重合時，點K與K′重合，此時點J在J′處，當點I與E重合時，K與K″重合，點J在J″處，點J的運動軌跡是線段J′J″.因為DG=4，DH∶HG=1∶3，所以DH=1，HG=3.在Rt△DEH中，DH=1，DE=3，所以HE=DH2+DE2=1+9=10.因為DG//EF，所以∠DHE=∠HEK″，又因為∠D=∠EHK″=90°，所以△DHE～△HEK″，所以HEEK″=DHHE，所以EK″=10×10=10.又因為EK′=DH=1，所以K′K″=EK″-EK′=9，所以J′J″=12K′K″=92，所以點J的運動路徑的長為92.

2 模型二動點在圓周上運動

這類問題的基本特點是主動點在圓周上運動，從動點的運動軌跡也是圓.其結論主要有兩個：一是主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角是定值；二是主、從動點與定點的距離之比值等于兩圓心到定點的距離之比值.

2.1 模型分析

例4如圖7，F是⊙D上一個動點，E為定點，連接EF，G為EF的中點，當點F在⊙D上運動時，畫出點G的運動軌跡.

解析如圖8，⊙C是點G的運動軌跡.連接ED，取ED的中點C，連接CG，以C為圓心，CG為半徑作⊙C，所以點F在⊙D上運動時，點G在⊙C上運動.即⊙C是點G的運動軌跡.因為主、從動點與定點連線的夾角∠FEG等于兩圓心與定點連線的夾角∠DEC，是定值0°.又因為主、從動點與定點的距離FE、GE之比值等于兩圓心到定點的距離DE、CE之比值，也等于兩圓半徑DF、CG之比值，是定值.從而可知主動點F在圓周上運動，從動點G的運動軌跡也是圓.

例5如圖9，M是⊙D上一個動點，B為定點，連接BM，在BM的上方以BM為邊作等邊△BCM.當點M在⊙D上運動時，畫出點C的運動軌跡.

解析如圖10，點C的運動軌跡是以點E為圓心的圓，理由如下：點C滿足∠MBC=60°，BM=BC，點C的圓心E滿足∠DBE=60°，BE=BD，且EC=DM，可確定圓E的位置，任意時刻均有△BMD≌△BCE，可以理解BE是由BD旋轉得到，故圓E是由圓D旋轉得到的，旋轉角度與縮放比例均與BM與MC的位置和數量關系有關.

例6如圖11，F是⊙C上一動點，E為定點，連接EF，以EF為斜邊在EF上方作等腰直角三角形EFD.當點F在⊙C上運動時，畫點D的軌跡.

解析如圖12，點D的軌跡為以點G為圓心，22CF長為半徑的圓.D點滿足∠FED=45°，EF：ED=2∶1，故D點軌跡是一個圓.連接EC，構造∠GEC=45°且EC∶EG=2∶1.G點即為D點軌跡圓圓心，此時任意時刻均有△ECF∽△EGD.即可確定點D的軌跡圓.所以點D的軌跡為以點G為圓心，22CF長為半徑的圓.

2.2 模型應用

例7如圖13，⊙E的直徑BC=4，D為⊙E上的動點，連接BD，F為BD的中點，若點D在圓上運動一周，求點F經過的路徑長.

解析如圖14，因為主、從動點與定點連線DB、FB的夾角等于兩圓心與定點連線EB、GB的夾角，且是0°，為定值，又因為主、從動點與定點的距離DB、FB之比值等于兩圓心到定點的距離EB、GB之比值，也等于兩圓半徑EB、GB之比值，是定值12.所以是點D在⊙E上運動，點F的運動軌跡也是圓.

如圖14，當點D在點C處時，點F在點E處，當點D在點B處時，點F在點B處，所以EB是這個圓的直徑，這個圓是⊙G.又因為BC=4，所以EB=2，所以GB=1，所以r=1，所以⊙G的周長為2πr=2π，所以點F經過的路徑長是2π.

例8如圖15，FG=3，⊙F的半徑為1，E為⊙F上的動點，連接EG，在EG上方作一個等邊三角形EGH，連接FH.求FH的最大值.

解析如圖16，以FG為邊在FG上方構造等邊三角形△FGI，連接IH，以點I為圓心，IH為半徑作圓I.因為主、從動點與定點連線EG、HG的夾角等于兩圓心與定點連線FG、IG的夾角，且是60°為定值.又因為主、從動點與定點的距離EG、HG之比值等于兩圓心到定點的距離FG、IG之比值，也等于兩圓半徑FE、IH之比值，是定值1.因為∠FGE=60°-∠EGI，∠IGH=60°-∠EGI，所以∠FGE=∠IGH.又因為FG=IG，EG=HG，所以△FGE≌△IGH，所以IH=FE=1.從而可知點H運動的軌跡是以點E為圓心、1為半徑的圓，當F、I、H三點共線且H在FI的延長線上時，FH的最大值為FI+IH=3+1=4，此時點H在點H′處.

3 結束語

在解決軌跡問題時，要結合圖形進行分析，主動點和從動點運動的軌跡是否屬于“瓜豆原理”.如果主動點和從動點運動的軌跡屬于“瓜豆原理”，就可以利用主動點在直線上運動，從動點的運動軌跡也是直線或主動點在圓周上運動，從動點的運動軌跡也是圓解決軌跡問題[2].

參考文獻：

［1］ 熊長菊，張進.例談瓜豆原理中動點軌跡最值問題的求解策略[J].數理化學習（初中版）， 2022（6）：5-9.

[2] 丁羽.初三學生動點軌跡問題的解決障礙及教學對策研究[D].廣州：廣州大學，2022.

［責任編輯：李璟］