基本模型：指向乘法數量關系的一致性

楊春曉 李國強

【摘? ?要】數量關系教學中存在“關注問題具體特征，忽視量與量之間內在關聯”的問題，這一認知局限主要源于對“數量關系一致性”的關注不足。因此，對于乘法數量關系的教學，教師應聚焦一致性，在分析問題、探討價值的基礎上，以基本模型為抓手開展教學。實施中可采用以下策略：低段教學聚焦“每份數”，夯實認知起點；線段表達，凸顯乘法的內在聯系；融合多元，構建統一模型；拓展應用，彰顯模型價值。

【關鍵詞】乘法數量關系；基本模型；一致性

《義務教育數學課程標準（2022年版）》將“數量關系”列為小學階段“數與代數”領域的主題之一，要求“學生經歷在具體情境中運用數量關系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識和初步的應用意識”。小學階段的數量關系主要有加法關系與乘法關系。本文聚焦乘法數量關系的一致性，旨在加深學生對乘法數量關系本質的理解，以優化學生的認知結構，提高其學習效果。

一、問題聚焦：對乘法數量關系教學現狀的反思

在教學人教版教材六年級上冊“總復習”中的一道題目（如圖1）時，筆者讓學生觀察這道題所給出的條件，寫一寫有什么發現。結果學生的回答大多集中于題目的外在形式，如“書原價30元，實際降價10%”“付錢數的50%”“付錢數的[13]”“付錢數的1.5倍”等。而當筆者提醒學生看看這幾個條件之間有什么共同點時，他們大多也只能回答“都是購物情境”，很少會關注到情境背后隱含的共同的數量關系。不僅如此，許多教師對數量關系的理解也停留在較淺的層面。他們出現這一認知局限的主要原因，與缺乏對“數量關系的一致性”的認識有關。因此，有必要對“數量關系的一致性”進行深入探討。

二、價值探尋：乘法數量關系一致性的教學重心

回顧小學三個學段乘法數量關系的教學（如圖2），可以發現，在運用乘法數量關系解決問題時，會遇到不同的事件、不同的情境和不同的表述方式，它們的關系紛繁復雜，容易使學生產生困惑。那么，在這些看似不同的問題背后，是否存在某種相同的本質？是否存在一個“萬變不離其宗”的核心概念？

從本質上看，乘法是“求幾個（份數）相同加數（每份數）的和（總數）的簡便運算”。因此，“每份數×份數=總數”是乘法數量關系的基本模型。對基本模型進行深入挖掘與分析，有助于揭示乘法數量關系的一致性，這對學生理解與分析問題至關重要。其主要價值體現在以下幾個方面。

（一）結構支撐，理解基本模型從具象到抽象的演變過程

數量關系是數學模型的具體表達形式，是模型思想的基礎。教師要引導學生深入探究多種具象的乘法數量關系，結合不同數量關系之間的邏輯聯系，以形式化的基本模型進行表達?！懊糠輸怠练輸?總數”這一基本模型，有助于學生構建數量關系之間的邏輯聯系，感受不同知識的深刻內涵，從而加深對知識結構的理解，提高學習效果。

（二）層層遞進，感悟基本模型化繁為簡的價值

基于乘法數量關系的一致性，關聯已學的整數、小數、用字母表示數、分數的數量關系等知識，將原本分散在不同年級、不同領域的不同事件、不同情境、不同具體關系進行化歸。例如，與購物相關的問題可以統一為“單價×數量=總價”，與行程相關的問題可以統一為“速度×時間=路程”，進而把乘法數量關系歸納為與個數有關的問題和與物理量有關的問題。在此基礎上，各種具體問題層層遞進，最后都歸結為“每份數×份數=總數”這一基本數量關系。這種化繁為簡的做法，不僅讓學生感受到基本模型的特殊魅力，增強學習興趣，減輕學習負擔，還有助于學生養成追根求源的深度學習習慣。

（三）整體把握，建立研究對象從局部到整體的本質聯系

在“每份數×份數＝總數”這一基本模型中，每個量可以是整數、小數、分數，甚至可以是字母。這使得乘法數量關系的研究對象從整數擴展到小數、分數以及用字母表示的數，涵蓋“數與代數”整個領域，甚至涉及小學數學的全部內容。乘法數量關系的基本模型從局部到整體建立起研究對象間的本質聯系，有助于學生體會和理解教學內容的多樣性與本質的一致性，促進學生對數學學習內容的整體把握與深度理解。

三、實踐探索：乘法數量關系的教學策略

如前所述，關于乘法數量關系的題目眾多，問題千變萬化。因此，基本模型對學生數學學習有著非常重要的作用。那么，如何利用基本模型更好地開展乘法數量關系的教學呢？具體有以下幾種教學策略。

（一）低段教學聚焦“每份數”，夯實認知起點

學生低年級時學習的“每份數”概念，是他們理解數量關系的基礎，更是他們初步建立數量關系的關鍵。教師應將“每份數”作為教學重點，并引導學生對其進行精準識別與理解。為了實現這一目標，教師需要精心策劃一系列“種子課”，系統性地推進整體教學。下面以“表內乘法”為例，探討如何讓學生深刻體驗每份數的意義。

【教學片段1】“表內乘法”教學

教師出示圖3。

師：你們看到了什么？

生：圖中有4個長方形，每個長方形中有3個圓。

師：那么一共有幾個圓呢？

生：一共有12個圓。

師：你是怎么知道的？

生：每個長方形中有3個圓，有4個這樣的長方形，3+3+3+3=12或3×4=12。

師：那如果有4個鉛筆盒，每個鉛筆盒里裝有3支鉛筆，一共有幾支鉛筆？這個問題誰會解決？

生：這個問題不就對應剛才的圖嗎？黑板上的圓就是鉛筆，長方形就是鉛筆盒。

通過聚焦問題中的“每份數”，學生不僅理解了如何通過加法3+3+3+3得出總數，還掌握了如何通過乘法3×4更簡潔地得到答案。這種教學方法有助于學生鞏固對乘法概念的理解，更重要的是，能使學生對“每份數”有更深入的認識，為他們后續進一步學習乘法數量關系奠定堅實基礎。

（二）線段表達，凸顯乘法的內在聯系

線段圖將抽象的數量關系轉化為具象的線段表達，使得數量關系形象化。學生可據此直觀地感知每一份的數量及其與份數之間的關系，更好地理解數量之間的內在聯系。

【教學片段2】“倍的認識”教學

教師出示問題：已知柳樹有30棵，松樹數量是柳樹的4倍，松樹有多少棵？在教師的引導下，學生畫出了如下線段圖（如圖4）。

師：觀察示意圖，說一說誰是誰的幾倍。

生：松樹的數量是柳樹的4倍。

師：剛才我們將誰視為1份？

生：柳樹的數量（上面的一小段）。

師：以30棵柳樹為1份，像這樣的1份我們叫作每份數。松樹的數量就是4個這樣的每份數，即30×4=120（棵）。

引入線段圖，有助于加深學生對基本模型的理解。通過線段圖，學生可以直觀地感受到每份數在解題過程中的重要性。此外，教師還要引導學生運用不同的每份數來應對相同的問題，以幫助學生深入理解數量關系的本質。

【教學片段3】“除數是一位數的除法”教學

教師出示問題：買2本故事書30元，要買4本這樣的故事書，需要多少錢？讓學生獨立思考后匯報想法。

生（指著自己畫的圖5）：先求出1本故事書的價格是15元，再求出買4本故事書需要60元，即30÷2×4=60（元）。

師：還有別的方法嗎？

生：4是2的2倍，因此4本故事書的價格也是2本故事書價格的2倍，即4÷2×30=60（元）。

師：這兩種計算方法有什么不一樣？

生：第一種方法是將1本故事書的價格看作每份數，第二種方法是將2本故事書的價格看作每份數。

師：為什么選的每份數不一樣，結果卻是一樣的？

生：將1本故事書的價格看作每份數時，總價里面包含4個這樣的每份數；將2本故事書的價格看作每份數時，總價里面包含2個這樣的每份數。因此，兩種計算方法的結果相同。

學生借助直觀的線段圖，認識到乘法數量關系實則是多個每份數的累加，進而明確每份數至關重要，了解數量的內在聯系，加深對數量關系的理解，提高解決問題的能力。

（三）融合多元，構建統一模型

在小學數學教學中，模型意識具有舉足輕重的作用。為了使學生能夠更加深入、準確地理解和把握數量之間的關系，筆者試圖將在原來實際運用中提煉的多個數量關系建立有機的聯系，形成一個內容完整、結構清晰的基本模型，通過基本模型加深學生對乘法數量關系本質的理解。

【教學片段4】“乘法數量關系模型”教學

教師出示要解決的問題，讓學生獨立思考后匯報想法。

問題1：每個不粘鍋的售價是105元，購買4個這樣的不粘鍋一共多少錢？

問題2：汽車每小時行駛75千米，4小時可以行駛多少千米？

生：根據數量關系“單價×數量=總價”，第1題答案為105×4=420（元）。

生：根據數量關系“速度×時間=路程”，第2題答案為75×4=300（千米）。

師：從這兩個問題中，你們發現了什么？

生：我發現它們用到的數量關系其實是一回事。

師：你能再說得具體一些嗎？

生：單價和速度都可以看作每份數，數量和行駛時間都可以看作份數，總價和路程則是總數。因此，兩道題都可以用“每份數×份數=總數”來表示。

師：對！這就是我們之前提到的乘法數量關系的基本模型。利用這個模型，能幫助我們快速地解決各類乘除法的問題。

“每份數×份數=總數”這一基本模型不僅簡化了數學題的類型，而且勾連了所學知識，使學生能夠更加直觀地理解數量之間的內在聯系。此外，它還為學生提供了一個高效且簡潔的解題框架，幫助他們快速洞察問題的本質，捕捉關鍵信息，找到解決問題的有效路徑。

（四）拓展應用，彰顯模型價值

在不同的學習階段，學生的認知發展水平存在差異，乘法數量關系模型的表現形式也會有所變化。因此，學生學習過程中的側重點也會有所不同。倍數、分數和比都是描述數量關系的具體方式，它們在小學的不同學段都有涉及，但各自的內涵和重點有所不同。分數的獨特性使其在教學中占據重要地位，因此，教師教學時要引導學生理解分數（分率）在乘法數量關系中的角色，使他們認識到每份數和份數也可以是分數，尤其是份數還可以是非整數。教師通過這樣的引導，拓展與深化乘法數量關系基本模型的應用，全面體現其教學價值。

【教學片段5】“分數乘法”教學

教師出示問題：一桶水6升，[13]桶水多少升？讓學生獨立思考后匯報想法。

生：6÷3=2（升）。

師：你是怎么想的？

生：我把[13]桶當作每份數，因為總數是6升，6升中有3個這樣的每份數，因此可以用6÷3來解決。

師：還能怎么列式？

生：我認為還可以用6×[13]來解決。

師：你能用學過的基本模型來解釋嗎？

生：我把一桶水6升看作每份數，那么份數就是[13]桶，所以我是根據“每份數×份數=總數”來列式的。

師：這樣解決有什么不一樣？

生：[13]桶的單位“1”是1桶，此時每份數是1桶，份數小于1，所以總數就比每份數小了。

通過分析少于1桶和幾桶都可以代表份數，學生認識到倍數、分率和比都可用于描述兩個量之間的關系，并在實際應用中實現了這些概念的統一。將基本模型從整數拓展到分數和比，不僅拓展了基本模型的應用價值，更為學生全面深刻地認識數量關系提供了抓手和機會。

四、實踐反思：乘法數量關系概念本質的一致性教學反思

（一）明確目標，系統把握

在小學階段，學生對乘法數量關系的理解是一個循序漸進的過程。從簡單的“每份數×份數=總數”“1倍數×倍數=總數”到“單價×數量=總價”“速度×時間=路程”，再到“單位‘1的量×分率=對應量”等數量關系，他們逐步建立起對乘法數量關系的系統認識。這些數量關系看似不同，實則相通，都可以歸于基本模型“每份數×份數=總數”。學生在感悟乘法數量關系的一致性的過程中，深入理解各個部分是如何相互關聯、相互影響的，這對提升他們的數學思維和解題能力具有重要意義。

（二）重視直觀，凸顯結構

在小學數學中，直觀圖對于助力學生理解乘法數量關系、感悟乘法數量關系的一致性具有顯著效果。通過長方形圖式、線段圖，學生能更清晰地看到數量關系的內在結構，并對其進行深入理解。這些直觀圖式不僅能激發學生的學習興趣，還能幫助其形成系統、清晰的數學思維，為后續學習奠定堅實基礎。

（三）廣泛聯系，整體建構

學生在學習乘法數量關系時，容易受到數類型的不同的影響，從而忽視了它們之間的整體性和關聯性。因此，教師在設計教學時，應精心構思，緊扣核心內容，分析知識之間的邏輯關系，旨在利用學生的已有認知，通過圖形、模型等多維度教學手段，幫助學生逐步建立起富有整體性、邏輯性的知識體系，凸顯乘法數量關系的一致性，加深學生對數量關系本質的理解。

參考文獻：

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（1.杭州師范大學附屬乍浦實驗學校2.杭州師范大學中國教育現代化研究院）