強化關(guān)鍵概念理解 體驗關(guān)系模型構(gòu)建

盧潔

【摘? ?要】“速度、時間和路程”是常見數(shù)量關(guān)系中的要素。速度是路程和時間的比，對學(xué)生而言，它是一個比較抽象的概念。教師在教學(xué)中往往忽視速度概念的建立，導(dǎo)致學(xué)生缺乏模型意識，對數(shù)量關(guān)系的理解不夠深刻。因此，教師可通過創(chuàng)設(shè)生活情境，激活學(xué)生的知識經(jīng)驗，深化學(xué)生對速度內(nèi)涵的理解，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生在運用幾何直觀的方法解決實際問題的過程中，體驗關(guān)系模型的構(gòu)建與價值，從而培養(yǎng)其模型意識和應(yīng)用意識。

【關(guān)鍵詞】數(shù)量關(guān)系；模型意識；幾何直觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022 年版）》提出，“數(shù)量關(guān)系”主要是用符號（包括數(shù)）或含有符號的式子表達數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律。學(xué)生應(yīng)在具體情境中，通過運用數(shù)量關(guān)系解決實際問題，感悟加法模型和乘法模型的實際意義，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，深化對數(shù)量關(guān)系的理解。

“速度、時間和路程”是常見數(shù)量關(guān)系中的要素。在日常教學(xué)中，教師一般會通過創(chuàng)設(shè)具體情境，給出不同物體的速度和時間，讓學(xué)生求出相應(yīng)的路程。接著，引導(dǎo)學(xué)生對比和分析不同的數(shù)量關(guān)系，以便學(xué)生從具體實例中抽象出數(shù)量關(guān)系的共性，理解“速度、時間和路程”三者之間的內(nèi)在關(guān)系。這樣的教學(xué)過程體現(xiàn)了從具體到抽象逐步建構(gòu)數(shù)量關(guān)系的過程。然而，在實際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對速度的概念及其作為度量單位的含義的理解并不透徹。那么，如何精心選擇教學(xué)素材設(shè)計教學(xué)活動，激活學(xué)生的已有經(jīng)驗？如何對生活常識中的速度概念進行改造和澄清，從而更好地凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助學(xué)生厘清數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)他們的模型意識呢？本文以人教版教材四年級上冊“速度、時間和路程”這一內(nèi)容的教學(xué)為例，探討數(shù)量關(guān)系的發(fā)現(xiàn)和理解，并運用數(shù)量關(guān)系解決問題。

一、創(chuàng)境：激活知識經(jīng)驗，感知速度概念

在生活中，學(xué)生對路程、時間和速度等概念已有一定的接觸和認識。其中，路程和時間是相對直觀和容易理解的，而速度則較為抽象。因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)著重對速度的含義進行解讀，以幫助學(xué)生更好地掌握其本質(zhì)。

課始，教師為學(xué)生呈現(xiàn)一個實際情境：有三名同學(xué)從家里出發(fā)去學(xué)校，小明用了6分鐘，小剛用了4分鐘，小紅也用了4分鐘。接著，教師提問：“你們能比較這三名同學(xué)的行走速度嗎？”然后，進一步追問：“為什么現(xiàn)在還不能比出他們的快慢呢？”學(xué)生可能會回答：“因為我們不知道他們家到學(xué)校的距離?！苯處熇^續(xù)引導(dǎo)：“確實，只知道時間而不知道距離是無法準確比較他們的快慢的。”

通過分析這一情境中所蘊含的數(shù)學(xué)信息，教師提問：“如何確定誰走得快呢？”有的學(xué)生可能會認為：“如果他們的路程是一樣的，那么時間用得少的就走得快。”也有學(xué)生可能會提出：“我們還需要知道他們各自從家到學(xué)校的距離?！苯處煾鶕?jù)學(xué)生的回答，引出“路程”這一概念，并給出三人從家到學(xué)校的具體距離（如圖1）。通過這種方式，學(xué)生從實際問題出發(fā)，逐步深入理解速度的含義，并認識到速度是由時間和路程兩個因素共同決定的。

二、探索：深化速度內(nèi)涵理解，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系

在自主學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)初步理解了速度、時間和路程的基本概念，這使得他們更易于理解三者之間的數(shù)量關(guān)系。而為了建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生還需要從實際情境中提取信息，將數(shù)學(xué)知識抽象化，并探索相關(guān)的方法和規(guī)律。

（一）利用問題驅(qū)動，引發(fā)數(shù)學(xué)思考

在“速度、時間和路程”這三個量中，“速度”是核心，同時也是學(xué)生最難把握的概念。教師應(yīng)有意識地將抽象的速度概念與學(xué)生日常生活中的“比快慢”經(jīng)驗相結(jié)合，以引發(fā)學(xué)生的深入思考。

教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)信息整理成表格（如表1），并啟發(fā)學(xué)生思考：現(xiàn)在要從這三個人中選擇兩人來比較他們的速度，有沒有一種方法可以不通過計算直接比較出他們的快慢呢？

學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，小明和小剛的路程相同，因此可以直接比較他們所用的時間，時間短的走得快；小剛和小紅所用的時間相同，可以直接比較他們的路程，路程遠的走得快。而對于小明和小紅，由于他們的路程和時間都不相同，所以需要比較他們在單位時間內(nèi)所走的路程，即速度。通過這一系列的比較和推理活動，學(xué)生對速度這個概念有了初步的感知和理解。

（二）通過對比表征，尋找數(shù)量關(guān)系

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運用語言、算式或圖畫等多種形式表征自己的思考過程，并闡述理由。具體可組織學(xué)生進行小組或全班討論交流，分享不同計算方法，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化過程，運用多種可視方式，對知識的理解更直觀和深入。

【活動一】

教師出示學(xué)習(xí)要求。

寫一寫：請把你的理由用語言、算式或圖畫等形式寫下來。

說一說：分小組進行討論交流，分享不同的方法。

教師提問：“小明家到學(xué)校和小紅家到學(xué)校的路程一樣嗎？時間一樣嗎？能不能直接比？你用什么方法判斷出誰走得快？”

教師展示部分學(xué)生的作品（如圖2）。

第（1）種方法：180×2=360（米），4×2=8（分），8分鐘＞6分鐘，小明快。

第（2）種方法：算出2分鐘能走多少米，360÷3=120（米），180÷2=90（米），120米＞90米，小明快。

第（3）種方法：360÷6=60（米/分），180÷4=45（米/分），60米/分＞45米/分，小明快。

第（4）種方法：畫線段圖進行比較，小明快。

可見，學(xué)生思考角度不同。第（1）種方法先統(tǒng)一路程，將小紅的180米通過乘2轉(zhuǎn)化為360米，然后比時間，小紅需要8分鐘，小明只需要6分鐘，所以小明比小紅快。第（2）種方法先統(tǒng)一時間，分別算出小明和小紅2分鐘所行的路程，120米比90米遠，所以小明更快一些。第（3）種方法先算出小紅和小明單位時間內(nèi)所行的路程，小明60米/分，小紅45米/分，再比較快慢。第（4）種方法先用線段圖表示出小明和小紅每分鐘所行的路程，再比較快慢。

通過對比四種方法，學(xué)生明確了速度單位的含義和表示方法。在比較過程中發(fā)現(xiàn)：時間相同，可以比路程；路程相同，可以比時間。隨后，通過比較三人的行走速度，學(xué)生思考：用哪種方法比較快慢更好？通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)將三人行走的路程都改成1分鐘所走的路程就能直接比出快慢，而不需要一次次比較路程或時間，繼而發(fā)現(xiàn)用“路程÷時間=速度”來計算更好。

（三）感受“速度”，加深概念理解

速度表示路程和時間之比，由路程和時間這兩個基本單位復(fù)合而成。盡管學(xué)生已經(jīng)掌握了時間單位和長度單位的知識，但在學(xué)習(xí)速度知識時，他們還需要理解兩個要素使用不同單位時，表達的含義會有所不同。因此，學(xué)生需要全面理解速度的概念，以便更好地掌握和應(yīng)用相關(guān)知識。

【活動二】

教師出示三種不同交通工具（如圖3），讓學(xué)生根據(jù)三種交通工具給定的路程單位，猜測對應(yīng)的時間單位。

教師提問：“能不能用數(shù)學(xué)的方法，讓大家一眼就看出誰快誰慢？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：比快慢時需要統(tǒng)一單位，即標尺，這樣才有比較的價值。如可以將三種交通工具1秒鐘所行的米數(shù)作為標尺（如圖4）。每秒、每分、每小時行的路程都是比較快慢最公平的尺子。由此，學(xué)生體會到速度既和路程有關(guān)系，也和時間有關(guān)系。

在這一教學(xué)過程中，速度概念并非直接告知學(xué)生的，而是學(xué)生通過解決具體問題逐步形成的。學(xué)生通過直觀感知來認識速度的含義，得到速度是衡量快慢的尺子，感受速度的價值，然后進一步將速度概念應(yīng)用于生活實例，如獵豹的奔跑速度達到1800米/分，卡車的行駛速度為60千米/時。教師要鼓勵學(xué)生用自己的語言表達對速度的理解，并舉例說明不同物體的速度差異。由此，學(xué)生對更多物體的速度有了感知，又在不同的單位表達中感受了速度的快慢。

（四）提煉數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

教師要求學(xué)生將已學(xué)的數(shù)量關(guān)系和“速度、時間和路程”的數(shù)量關(guān)系進行比較，構(gòu)建出一般性數(shù)學(xué)模型（如圖5），并將其應(yīng)用于實際問題中，使學(xué)生體會簡單的乘法模型，再指導(dǎo)學(xué)生利用這一數(shù)學(xué)模型解決生活中的一類問題。這是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方法。此外，教師還可輔助使用微課，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)量關(guān)系等式和已經(jīng)學(xué)過的乘法模型的聯(lián)系，深入探究數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)單價、速度相當于每份數(shù)，數(shù)量、時間相當于份數(shù)，總價、路程就相當于總數(shù)，這些關(guān)系都可以歸納為“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這一模型。通過尋找生活中類似的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生構(gòu)建了乘法關(guān)系模型，從而加深了對數(shù)學(xué)模型的理解和應(yīng)用。

三、遷移：解決實際問題，感悟關(guān)系模型價值

教師應(yīng)當創(chuàng)設(shè)適當?shù)那榫常瑸閷W(xué)生提供應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的資源與機會，使學(xué)生通過不斷的練習(xí)，能夠熟練掌握數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，為后續(xù)數(shù)學(xué)模型的實際應(yīng)用奠定基礎(chǔ)；通過生活中的實際情境，使學(xué)生在深入理解速度概念的基礎(chǔ)上，對知識進行鞏固、強化和應(yīng)用，從而有效提升學(xué)生的實踐能力和思維能力，使學(xué)生能夠運用所積累的經(jīng)驗解決實際問題。

教師呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題：一輛汽車上午7時從A城出發(fā)前往B城（該段路程限速80千米/時）。在前4小時，汽車的平均速度為60千米/時。為了盡快到達B城，司機在后2小時提速，全程420千米。司機能在13時準時到達嗎？你想對司機說些什么？

讓學(xué)生獨立嘗試用不同的數(shù)學(xué)方法解決問題。

420-60×4=180（千米）。

方法一：180÷2=90（千米/時）， 90千米/時＞80千米/時，因此要在13時準時到達，司機一定會超速。

方法二：80×2=160（千米），180千米＞160千米，因此不能在13時準時到達。

方法三：180÷80=2（時）……20（千米），不能在13時準時到達。

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進一步思考：如果要讓司機在不超速的情況下在13時準時到達B城，你有什么好方法？學(xué)生可以從速度、時間和路程的角度進行比較，最終找到既能準時到達又不超速的方法。

最后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生概括出“路程=速度×?xí)r間”這一乘法數(shù)量關(guān)系，并將其應(yīng)用于生活中的實際問題。通過實踐應(yīng)用，學(xué)生可以更深入地理解數(shù)學(xué)模型的價值，并在復(fù)雜的生活情境中靈活做出決策，從而進一步提升解題能力。

綜上所述，“速度、時間和路程”的教學(xué)實踐，不僅融入了乘法關(guān)系的教學(xué)理念，而且對傳統(tǒng)的教學(xué)模式進行了有益的突破。在基于模型意識的數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中，教師可以從學(xué)生熟悉的生活情境入手，引導(dǎo)他們通過具體情境深入理解速度的概念，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過對比分析找出數(shù)量關(guān)系的共同特征，并運用表格、文字解釋、圖形描繪等手段直觀呈現(xiàn)速度、時間、路程之間的內(nèi)在關(guān)系。為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從具體的情境中抽象出數(shù)量關(guān)系，進而將“單價×數(shù)量=總價”“速度×?xí)r間=路程”這些數(shù)量關(guān)系統(tǒng)整為“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”的一般性數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)運用類比思想學(xué)習(xí)“工作效率×工作時間=工作總量”等數(shù)量關(guān)系打下基礎(chǔ)，實現(xiàn)知識的遷移與拓展。此外，教師還可以設(shè)計一系列具有挑戰(zhàn)性的問題，鼓勵學(xué)生在解決問題的過程中不斷嘗試、調(diào)整和完善自己的模型，從而培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問題解決能力。

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（浙江省杭州市余杭區(qū)五常中心小學(xué)）