利用勾股定理求代數(shù)式的最值

在中學(xué)階段，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用十分廣泛，它作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，能很好地把各部分內(nèi)容聯(lián)系起來，并貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的整體思路中。數(shù)形結(jié)合涉及兩方面的問題，一方面是將圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系問題，另一方面是將數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化成圖形性質(zhì)問題。

因此，在求最值問題時(shí)，采用數(shù)形結(jié)合思想的方法，由形想數(shù)，由數(shù)想形，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機(jī)地結(jié)合起來，有利于開闊的解題思路，發(fā)展其形象思維能力.培養(yǎng)邏輯思維，提高解題能力，達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。

題型 利用數(shù)形結(jié)合思想求最值

例：如圖所示，點(diǎn)C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、點(diǎn)D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8.設(shè)CD=x.

（1）用含x的代數(shù)式 表示AC+CE的值；

（2）求AC+CE的最小值。

【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；

（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小；

由條件得BD=8，過點(diǎn)A作AF⊥DE交于點(diǎn)F，則AB=5，EF=6，連接AE交BD于點(diǎn)C，則AE的長即為AE=[62+82]=10。所以AC+CE的值最小值=10。

解：（1）在Rt△ABC和Rt△CDE中，AC=[（8-x）2+52]，CE=[x2+1]，所以AC+CE=[（8-x）2+52]+[x2+1]。

（2）在Rt△AEF中，AE=[62+82]=10，由兩點(diǎn)之間線段最短，得AC+CE的最小值為AE的長，

所以AC+CE的最小值為10。

【變式】：試求y=[x2+4+（12-x）2+9]的最小值。

分析：構(gòu)造一個(gè)幾何模型去求代數(shù)式的最小值。

[C][D][E][B][A] [F][變式答圖]

解：作BD=12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，則AE的長即為代數(shù)式[x2+4+（12-x）2+9]的最小值，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值。

過點(diǎn)A作AF⊥DE交于點(diǎn)F，則AB=3，EF=5，連接AE交BD于點(diǎn)C，則AE的長即為AE=[52+122]=13。所以AC+CE的值最小值為13，所以[x2+4+（12-x）2+9]的最小值為13。

所以，利用勾股定理解決最短路徑問題的思路要抓住以下幾點(diǎn)：展——（立體→平面）；找——起點(diǎn)，終點(diǎn)；連——路線；算——利用勾股定理；答。

即：化曲為直，化折為直，利用軸對(duì)稱（兩點(diǎn)之間線段最短）求最值，利用垂線段最短求最值，利用數(shù)形結(jié)合思想求最值。