對一道等差數列一題多解問題的思考

摘要：數學學習不僅要學會基本的知識、思想和方法，更重要的是要學會地思考問題，以一道課本例題為例，不僅對知識、思想和方法進行了梳理，還展示了學習過程中對這個問題不同解法的完整思考過程。

關鍵詞：等差數列? 課本例題? 數學思考

1 問題提出

在數列學習過程中，選擇性必修第二冊4.2.2《等差數列的前n項和公式》第21頁例7提供了以下解法。

題目1已知一個等差數列{an}前10項的和是310，前20項的和是1220。由這些條件能確定這個等差數列的首項和公差嗎？

這個題求等差數列的首項和公差，條件給了兩條關于該數列前n項和的條件，由本課所學知識，我們可以用等差數列前n項和公式列方程組，求解便可得出首項和公差。

下面是解答過程。

解法1 由題意，知

S10=310， S20=1220。

把它們代入公式

Sn=na1+d，

得[10a1+45d=31020a1+190d=1220]

解方程組，得[a1=4d=6]

所以，該等差數列的首項為4，公差為6。

這是課本上給出的比較常規(guī)的解答，建立方程組求出兩個基本量。結合等差數列及等差數列前n項和的性質，我對這道例題進行深入的思考和研究，并想出了以下解法。

2 方法拓展

2.1利用Sn的特征

思考1? 已知Sn=na1+[n（n-1）2d]，那么把它展開整理一下可得關于n的一元二次方程，即Sn=An2+Bn（A，B為常數），其中A=[d2]，B=a1-[d2]，由此，可以找出解該題的另一種思路，利用A，B代替a1，d，間接求解。

解2? 由上述公式，得

[S10=100A+10B=310S20=400A+20B=1220]

解方程組，得[A=3B=1]

由A，B含義得[a1=4d=6]

2.2利用[Snn]的特征

思考2? 已知Sn=na1+[n（n-1）2d]，那么整理可得[Sn]= [d2]n+（a1-[d2]），此時公式為關于n的一次函數，因為等差數列可與一次函數相互轉化，所以此公式可以轉換為公差d=[d2] 的等差數列，可由等差數列的性質解出此題。

解3 由上述公式，得[S1010=31S2020=61]

解得d′=[S2020-S101010]=3

所以[d=2d′=4a1=4]

2.3利用等差數列性質

思考3? 已知{an}為等差數列，那么Sn，S2n-Sn，S3n- S2n，……為等差數列，公差為n2d，由此可解此題。

解4 由上述性質，得

S10，S20-S10，S30-S20……

已知[S10=310S20=1220]

所以

S20-S10=910

所以

d′=n2d=100d=600

解得

d=6

再代入公式，得

S10=10a1+270=310

解得

a1=4

綜上[d=6a1=4]

3 一題多解

思考4 這里給出了本題四種不同的解法，相對于課本上提供的解法1，這些解法比較簡單，但是需要建立在對基礎知識充分掌握的基礎上。下面結合歷年一道高考題，我們研究一下這些方法的應用。

題目2 （2010遼寧高考文科 14題）設Sn為等差數列{an}的前n項和，若S3=3，S6=24，則a9=

解1 由Sn=na1+[n（n-1）2d]，得

[3a1+3d=36a1+15d=24]

解方程組，得[a1=-1d=2]

所以

a9=15

解2 由Sn=An2+Bn（A，B為常數），得[9A+3B=336A+6B=24]

解方程組，得[A=1B=-2]

由A，B含義得[a1=-1d=2]

解3 由[Snn]= [d2]n+（a1-[d2]），得

[S33=1S66=4]

解得

d′=1

所以[d=2d′=2a1=-1]

解4 由上述性質，得

S3，S6-S3，S9-S6……

已知[S3=3S6=24]

所以

S6-S3=21

所以

d′=9d=18

解得

d=2

再代入公式，得

S3=3a1+6=3

解得

a1=-1

綜上[d=2a1=-1]

由題目2證明，此四種方法適用于大部分等差數列求解問題，今后面對此類求首項與公差的題目，便可以由題目已知，靈活運用四種方法求解。

4 結束語

通過這次對課本例題的研究，我發(fā)現自己對等差數列的公式、性質的認識更上一層樓，并且發(fā)現了對于等差數列來說，可以從多種角度去看待一道等差數列的題目，從等差數列中感受熟悉的函數知識、代數法則，以及數列本身的性質，這使我以后再面對不會的數列題目時可以發(fā)散思維，去聯系更多的知識。并且，通過此次研究，我發(fā)現了每道題背后都蘊含命題人的思想與心血，因此，在后面的數學學習生活中，我會用更加認真的態(tài)度來對待數學，并懷著敬佩的心理求解數學題。

教師評語：等差數列前n項和可以看成等差數列的重要性質，在高考中具有舉足輕重的地位。孫晨淇同學運用了基本量、待定系數、性質應用等一系列方法對課本一道例題做了多種方法的推廣，并結合一道歷年高考題對方法做了進一步的研究和論證。“雙減”背景下，一題多解的學習方式有利于加強學生思考的深度、廣度和高度，學生在對等差數列前n項和公式的理解的基礎上，提升靈活運用公式解決問題的能力。

指導老師： 潘文超