例談帕德逼近在導數中的應用

? 湖北省監利市監利中學 胡 暢

1 帕德逼近的定義及常用函數逼近表

帕德逼近來源于高等數學中的函數逼近理論,它不是高中數學課程中的學習內容,也不在高考考查范圍內,但由于該理論體現了用代數函數逼近超越函數的思想,所以經常會成為導數壓軸題的背景.如果高中數學教師能夠了解該理論,就會站在更高的角度看問題,教師認識數學問題的高度決定了學生認識問題的高度,為了培養創新型的學生,我們應該做研究型教師,這也是時代對教師提出的要求.

1.1 帕德逼近的定義

1.2 常用函數帕德逼近表

幾種常用函數帕德逼近舉例如下.

(1)f(x)=ln(1+x)在x=0的[m,n]階帕德逼近如表1所示：

表1

(2)f(x)=lnx在x=0的[m,n]階帕德逼近如表2所示：

表2

(3)f(x)=ex在x=0的[m,n]階帕德逼近如表3所示：

表3

2 帕德逼近在模擬題中的應用

(1)當a=1時,求f(x)的最小值.

(2)若函數g(x)有三個零點x1,x2,x3,且x1

(ⅰ)求a的取值范圍;

(ⅱ)證明：x1+x3+4x1x3>3a.

(2)(ⅰ)a>2(過程略).

而x1x3=1,所以x1+x3+4x1x3>3a.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)設a,b是兩個不相等的正數,且a+lnb=b+lna,證明：a+b+lnab>2.

解：(1)(過程略).

(2)令a-lna=b-lnb=m,則lna=a-m,且lnb=b-m.因此,只需證a+b>1+m.

化簡,得

①

②

②-①,得

b2-a2-(1+m)(b-a)>0.

整理,得

a+b>1+m.

點評：這道題剛出來時,在微信群引起了數學老師的廣泛討論.其實這類零點估計問題,大多都是以泰勒展開式或者帕德逼近為背景來命制的.對照常用函數帕德逼近表,我們發現該題中就是利用f(x)=lnx在x=0處的[1,1]階帕德逼近.通過以上示例可以看出,利用帕德逼近證明函數中的不等式可以提高解題速度,但運用該法的難點是要根據函數結構以及要證明的結論,找準合適的帕德逼近.

3 帕德逼近在高考題中的應用

高考試……