例談帕德逼近在導數中的應用

? 湖北省監利市監利中學 胡 暢

1 帕德逼近的定義及常用函數逼近表

帕德逼近來源于高等數學中的函數逼近理論,它不是高中數學課程中的學習內容,也不在高考考查范圍內,但由于該理論體現了用代數函數逼近超越函數的思想,所以經常會成為導數壓軸題的背景.如果高中數學教師能夠了解該理論,就會站在更高的角度看問題,教師認識數學問題的高度決定了學生認識問題的高度,為了培養創新型的學生,我們應該做研究型教師,這也是時代對教師提出的要求.

1.1 帕德逼近的定義

1.2 常用函數帕德逼近表

幾種常用函數帕德逼近舉例如下.

(1)f(x)=ln(1+x)在x=0的[m,n]階帕德逼近如表1所示：

表1

(2)f(x)=lnx在x=0的[m,n]階帕德逼近如表2所示：

表2

(3)f(x)=ex在x=0的[m,n]階帕德逼近如表3所示：

表3

2 帕德逼近在模擬題中的應用

(1)當a=1時,求f(x)的最小值.

(2)若函數g(x)有三個零點x1,x2,x3,且x1

(ⅰ)求a的取值范圍;

(ⅱ)證明：x1+x3+4x1x3>3a.

(2)(ⅰ)a>2(過程略).

而x1x3=1,所以x1+x3+4x1x3>3a.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)設a,b是兩個不相等的正數,且a+lnb=b+lna,證明：a+b+lnab>2.

解：(1)(過程略).

(2)令a-lna=b-lnb=m,則lna=a-m,且lnb=b-m.因此,只需證a+b>1+m.

化簡,得

①

②

②-①,得

b2-a2-(1+m)(b-a)>0.

整理,得

a+b>1+m.

點評：這道題剛出來時,在微信群引起了數學老師的廣泛討論.其實這類零點估計問題,大多都是以泰勒展開式或者帕德逼近為背景來命制的.對照常用函數帕德逼近表,我們發現該題中就是利用f(x)=lnx在x=0處的[1,1]階帕德逼近.通過以上示例可以看出,利用帕德逼近證明函數中的不等式可以提高解題速度,但運用該法的難點是要根據函數結構以及要證明的結論,找準合適的帕德逼近.

3 帕德逼近在高考題中的應用

高考試題中多次出現以高等數學為背景的試題,教師自身應加強對高等數學相關背景的研究,有利于教師把握本質,提升能力.同時,我們也要注意到,以高等數學為背景的高考試題,也都能應用中學數學的知識和方法加以求解.因此,研究高等數學背景并不意味著要在教學中補充高等數學知識,盲目提高要求,加重學生負擔,而是應加強自身研究,優化教學,有效提升學生的數學思維能力.

例3(2018年全國高考Ⅲ卷)已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(x+1)-2x.

(1)若a=0,證明：當-1

(2)若x=0是f(x)的極大值點,求a的值.

(1)求f(x)的單調區間;

解：第(1)(2)問過程略.下面用帕德逼近就第(3)問右邊的不等式作簡要說明.

由y=g(t)的圖象可知,對于給定的m∈(0,1),當b增大時,圖象g(t)下移,t1,t3均減小;反之,當b減小時,圖象g(t)上移,t1,t3均增大.

分析：2022年浙江高考導數題最后一問,是2022年所有省份高考壓軸題里最難的,解決該題主要有兩個方向.一是官方解答中的代入,換元,消元,轉化為一個復雜的不等式證明;二是極端化,然后對lnx放縮.無論用哪種方法,都需要對lnx進行高精度的放縮.

4 帕德逼近的變式訓練

學之道在于“悟”,教之道在于“度”.但不思考不會有悟,教師在平常的教學中,除了干凈利落地給出問題的解答,還應透徹清晰地確定問題的背景,再通過問題的背景進行變式題的設計,這樣才能到達舉一反三的效果,才能讓學生有機會學以致用,以避免問題與方法各自相對封閉.

利用y=ex在x=0處的[1,3]階帕德逼近函數,可以設計與2018年全國Ⅲ卷類似的變式題.

變式1函數f(x)=(ax3-x+2)ex-x-2,a∈R.

(1)若a=0,證明：xf(x)≤0;

(2)若x=0是函數f(x)的極小值點,求實數a的值.

另外,也可以通過帕德逼近設計一些零點估計類的問題.在平常訓練中,零點估計(極值點偏移)問題的解決主要依賴于對數平均值不等式[2],但是我們可以通過帕德逼近設計一些更緊的不等式證明問題,例如利用f(x)=lnx在x=0的[2,1]階帕德逼近可設計如下變式：

變式2已知函數f(x)=x-lnx-a有兩個相異的零點x1,x2(x1

(1)求a的取值范圍;

利用f(x)=lnx在x=0的[1,1]階帕德逼近可設計如下變式：

變式3已知函數f(x)=x-lnx-a有兩個相異的零點x1,x2(x1

(1)求a的取值范圍;

(2)證明：x1+x2>1+a.

教師在平常的教學中要打破就題講題的教學觀,認真研究試題,找到一類題的共性,做到“自然、簡單、優美、統一”.

5 教學啟示

高觀點的試題背景是命題的重要來源.很多高考試題都具有高等數學的背景,如圓錐曲線中的極點極線、曲線系方程,導數中的泰勒展開、洛必達法則、帕德逼近等,合理分析這些試題的背景,探尋這些試題的命題方法,可為復習備考提供一些新的生長點.另外,多數具有高觀點背景的導數壓軸題,由于命制時已將一般性的問題變成具體的適合高中生做的試題,因此會有較強的綜合性和新穎性,對于時間緊迫的考生而言會有很大壓力.然而對于優秀考生,一旦清楚其中的背景,就可快速得出結果,也為如何書寫提供了方向.