例談帕德逼近在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

? 湖北省監(jiān)利市監(jiān)利中學(xué) 胡 暢

1 帕德逼近的定義及常用函數(shù)逼近表

帕德逼近來(lái)源于高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)逼近理論,它不是高中數(shù)學(xué)課程中的學(xué)習(xí)內(nèi)容,也不在高考考查范圍內(nèi),但由于該理論體現(xiàn)了用代數(shù)函數(shù)逼近超越函數(shù)的思想,所以經(jīng)常會(huì)成為導(dǎo)數(shù)壓軸題的背景.如果高中數(shù)學(xué)教師能夠了解該理論,就會(huì)站在更高的角度看問(wèn)題,教師認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的高度決定了學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的高度,為了培養(yǎng)創(chuàng)新型的學(xué)生,我們應(yīng)該做研究型教師,這也是時(shí)代對(duì)教師提出的要求.

1.1 帕德逼近的定義

1.2 常用函數(shù)帕德逼近表

幾種常用函數(shù)帕德逼近舉例如下.

(1)f(x)=ln(1+x)在x=0的[m,n]階帕德逼近如表1所示：

表1

(2)f(x)=lnx在x=0的[m,n]階帕德逼近如表2所示：

表2

(3)f(x)=ex在x=0的[m,n]階帕德逼近如表3所示：

表3

2 帕德逼近在模擬題中的應(yīng)用

(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的最小值.

(2)若函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)x1,x2,x3,且x1

(ⅰ)求a的取值范圍;

(ⅱ)證明：x1+x3+4x1x3>3a.

(2)(ⅰ)a>2(過(guò)程略).

而x1x3=1,所以x1+x3+4x1x3>3a.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a,b是兩個(gè)不相等的正數(shù),且a+lnb=b+lna,證明：a+b+lnab>2.

解：(1)(過(guò)程略).

(2)令a-lna=b-lnb=m,則lna=a-m,且lnb=b-m.因此,只需證a+b>1+m.

化簡(jiǎn),得

①

②

②-①,得

b2-a2-(1+m)(b-a)>0.

整理,得

a+b>1+m.

點(diǎn)評(píng)：這道題剛出來(lái)時(shí),在微信群引起了數(shù)學(xué)老師的廣泛討論.其實(shí)這類零點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題,大多都是以泰勒展開(kāi)式或者帕德逼近為背景來(lái)命制的.對(duì)照常用函數(shù)帕德逼近表,我們發(fā)現(xiàn)該題中就是利用f(x)=lnx在x=0處的[1,1]階帕德逼近.通過(guò)以上示例可以看出,利用帕德逼近證明函數(shù)中的不等式可以提高解題速度,但運(yùn)用該法的難點(diǎn)是要根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)以及要證明的結(jié)論,找準(zhǔn)合適的帕德逼近.

3 帕德逼近在高考題中的應(yīng)用

高考試……