高考數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的特點(diǎn)及其教學(xué)啟示

? 長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院 羅 毅 李 勇

1 背景

“概率與統(tǒng)計(jì)”是高中數(shù)學(xué)四大主要課程之一.而高考中“概率與統(tǒng)計(jì)”試題形式多變,考查的側(cè)重點(diǎn)和綜合難度都有一定的變化,部分一線教師難以把握高考復(fù)習(xí)方向[1],因此對(duì)全國(guó)卷(全國(guó)甲卷、乙卷,新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷)中“概率與統(tǒng)計(jì)”的相關(guān)試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,為教學(xué)實(shí)踐提供有效的建議,提醒教師重視“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容[2].為教師開(kāi)展有效的教學(xué)活動(dòng)提供方向,充分發(fā)揮新高考在數(shù)學(xué)學(xué)科教育中的導(dǎo)向作用,以達(dá)到更好的教學(xué)效果.

2 研究方法

本文對(duì)2021年和2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷(理科)中的“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析(8套共計(jì)34個(gè)題目).考慮到不同題型所考查的內(nèi)容和重點(diǎn)存在差異,因此將“概率與統(tǒng)計(jì)”試題分為選填題和解答題兩大類,采用定性和定量相結(jié)合的研究方法,先對(duì)試題的命題特點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,再?gòu)牟煌愋驮嚲砣胧?研究試題的綜合難度,結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表分析試題特點(diǎn)及試題綜合難度.

2.1 命題特點(diǎn)分析

(1)情境領(lǐng)域：數(shù)學(xué)問(wèn)題通常是以問(wèn)題情境有機(jī)地展現(xiàn)出來(lái).本文將依據(jù)新課標(biāo)中情境的劃分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境三個(gè)維度).

(2)知識(shí)點(diǎn)：鑒于高考具有連續(xù)性、穩(wěn)定性等特點(diǎn),本文參考2019年高考考試大綱,對(duì)“概率與統(tǒng)計(jì)”考點(diǎn)進(jìn)行分類和編碼.

(3)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),可以使他們?cè)诮窈蟮臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有更多獨(dú)到見(jiàn)解,從而有利于他們的身心發(fā)展.本文將參照新課標(biāo)結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的劃分維度(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析)對(duì)2021年和2022年高考數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

2.2 綜合難度分析

綜合難度分析可以把握試題的難易程度,并科學(xué)調(diào)控試題難度,從而提高命題質(zhì)量.國(guó)內(nèi)學(xué)者鮑建生[3]則根據(jù)我國(guó)數(shù)學(xué)課程的具體情況提出了五個(gè)難度影響因素的難度模型.本文將采用武小鵬等[4]基于AHP理論構(gòu)建的研究數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型,該模型含7個(gè)要素(背景因素、是否含參、運(yùn)算水平、推理能力、知識(shí)含量、思維方向、認(rèn)知水平),各要素又依據(jù)自身特點(diǎn)劃分為不同水平,具體如表1所示.

表1 難度因素水平劃分及內(nèi)涵

3 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析

3.1 試題特點(diǎn)分析

(1)情境領(lǐng)域分析

通過(guò)統(tǒng)計(jì)(見(jiàn)表2)發(fā)現(xiàn),試題對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的設(shè)置最多,如2021年全國(guó)乙卷第6題：“將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰等4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),……,則不同的分配方案共有多少種?”試題情境貼近現(xiàn)實(shí)生活,與國(guó)家時(shí)事緊密相聯(lián),培養(yǎng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感和社會(huì)責(zé)任感,讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性,將理論和實(shí)踐相結(jié)合.

表2 試題情境統(tǒng)計(jì)表

(2)知識(shí)點(diǎn)分析

2021年和2022年選填題在知識(shí)點(diǎn)上重點(diǎn)考查了“古典概型”“概率”以及“用樣本估計(jì)總體”部分,其知識(shí)點(diǎn)含量的設(shè)計(jì)往往趨向單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查,總體來(lái)說(shuō)考查難度不大.而解答題對(duì)于“隨機(jī)抽樣”和“概率”知識(shí)點(diǎn)的考查最多,很少涉及“變量的相關(guān)性”和“隨機(jī)數(shù)與幾何概型”的考查;每道解答題所考查的知識(shí)點(diǎn)均在兩個(gè)及兩個(gè)以上,體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)的融合性,突顯出解答題設(shè)置的綜合性.(知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表3.)

表3 知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)表

(3)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分析

選填題著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,注重?cái)?shù)據(jù)分析能力,其命題符合考綱要求,具有實(shí)用性.解答題側(cè)重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模的考查,重視學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng).以2022年新高考Ⅱ卷第19題為例,學(xué)生要從疾病與年齡間的關(guān)系情境中抽象出概率的數(shù)學(xué)問(wèn)題,通過(guò)邏輯推理計(jì)算出患病平均年齡,并在此基礎(chǔ)上建立模型計(jì)算某年齡段的患病率.(數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表4.)

表4 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)統(tǒng)計(jì)表

3.2 試題綜合難度分析

按照表1中不同因素的界定,對(duì)8套試卷中“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行分類賦值.具體如下：

例1(2022年全國(guó)甲卷第2題)某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí),為了解講座效果,隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民,讓他們?cè)谥v座前和講座后回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如圖1：

圖1

則( ).

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

分析：該試題難度水平及賦值——生活背景2;簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算3;簡(jiǎn)單推理1(包含三步：一是通過(guò)散點(diǎn)圖對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序;二是根據(jù)中位數(shù)概念找出中位數(shù);三是根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的計(jì)算公式分別計(jì)算出平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差);無(wú)參數(shù)1;知識(shí)點(diǎn)含量中等2;順向思維1;運(yùn)用認(rèn)知水平2.

對(duì)2021年和2022年全國(guó)高考“概率與統(tǒng)計(jì)”知識(shí)單元涉及的34道試題同上進(jìn)行分類和賦值,得到原始編碼數(shù)據(jù)后根據(jù)綜合難度系數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算,得到表5.

表5 綜合難度系數(shù)

從整體來(lái)看,2021年和2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷中“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的綜合難度系數(shù)差距不大,其中新高考Ⅰ卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的綜合難度系數(shù)最高,達(dá)到13.22,甲卷、乙卷和新高考Ⅱ卷的綜合難度相差不大,難度系數(shù)在12左右.

為直觀了解2021年和2022年“概率與統(tǒng)計(jì)”試題在這7個(gè)維度上的側(cè)重程度,繪出雷達(dá)圖,如圖2.

圖2 綜合難度系數(shù)雷達(dá)圖

可見(jiàn),2021年和2022年甲、乙卷以及新高考Ⅰ、Ⅱ卷在推理能力、參數(shù)因素、背景因素三個(gè)維度上的考查難度差異不大,難度水平基本相當(dāng).在運(yùn)算水平、知識(shí)的認(rèn)知水平和思考方向三個(gè)方面,新高考Ⅰ卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的難度明顯高于其他三卷,而在背景因素上又明顯低于其他三卷;在知識(shí)含量方面,乙卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的難度低于其他三卷;同時(shí)四種類型的試卷都重視對(duì)運(yùn)算能力的考查,對(duì)此維度的考查力度遠(yuǎn)大于其他維度.

4 啟示與建議

通過(guò)綜合統(tǒng)計(jì)和分析,發(fā)現(xiàn)這一部分的試題具有以下特征：一是問(wèn)題情境多以現(xiàn)實(shí)情境為主,具有現(xiàn)實(shí)性;二是試題涵蓋的知識(shí)點(diǎn)廣泛,內(nèi)容豐富;三是各類型試題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的側(cè)重點(diǎn)不同,具有針對(duì)性;四是不同試卷的試題綜合難度相差不大,具有一致性.本文認(rèn)為,隨著信息時(shí)代的到來(lái),“概率與統(tǒng)計(jì)”的概念逐漸被人們所關(guān)注,這不僅有利于轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維方式,也有利于培養(yǎng)學(xué)生的良好素質(zhì),也為培養(yǎng)大量的信息技術(shù)人才打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).因此給出如下幾點(diǎn)建議.

(1)問(wèn)題情境方面

適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的一個(gè)重要載體.因此在命制試題時(shí)要充分考慮學(xué)生和社會(huì)的需求以及時(shí)代背景,創(chuàng)設(shè)更加合理的問(wèn)題情境,充分體現(xiàn)試題的應(yīng)用性,使學(xué)生了解到,數(shù)學(xué)是從生活中產(chǎn)生的,也是在生活中得到運(yùn)用的.

(2)知識(shí)點(diǎn)方面

單一的知識(shí)點(diǎn)不能夠體現(xiàn)高考試題綜合性的特點(diǎn),命題可以適當(dāng)增加知識(shí)點(diǎn)的容量或滲透其他學(xué)科知識(shí)點(diǎn),從而增加試題的綜合性,幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)框架.

(3)解題思維方面

命題時(shí)可以適當(dāng)增加逆向思維的試題,如增加一些需用反證法、舉反例、逆用定理等求解的題目,這樣才能有效地提高學(xué)生的思維能力,培養(yǎng)他們的逆向思維,提高他們的解題能力.

(4)綜合難度方面

為了保證試題的價(jià)值,并發(fā)揮試題的選拔功能和導(dǎo)向作用,命題人要考慮各難度因素的平衡性,研究課標(biāo)、回歸教材,秉持促進(jìn)學(xué)生均衡且全面發(fā)展的理念,并根據(jù)不同地區(qū)對(duì)高考試題的要求,科學(xué)地去均衡各難度因素,提高試題的價(jià)值.