不平移齊次化方法在圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中的應(yīng)用

? 浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)海創(chuàng)園校區(qū) 陶勇勝 徐小芳

圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題,由于其側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng),是高考數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的考點(diǎn),其中一類(lèi)以直線(xiàn)的斜率之和或者之積為背景的圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題更是近幾年高考中考查的熱點(diǎn).運(yùn)用平移齊次化方法求解圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題,具有簡(jiǎn)化計(jì)算、提高解題效率的作用,但此法需要平移圓錐曲線(xiàn)或者平移整個(gè)坐標(biāo)系,因此,先要重新繪制圖形,且在計(jì)算過(guò)程中需要左、右或者上、下平移,計(jì)算結(jié)束后再平移回原來(lái)位置,實(shí)際書(shū)寫(xiě)也有很多不便.正因?yàn)樯鲜霾槐?所以對(duì)平移齊次化方法進(jìn)行改進(jìn)顯得很有意義且很有必要.如果不平移圓錐曲線(xiàn)或者不平移整個(gè)坐標(biāo)系而直接采用齊次化方法,是否可以解決這類(lèi)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題?本文中先用不平移齊次化方法對(duì)幾個(gè)常見(jiàn)的模型進(jìn)行推導(dǎo),然后總結(jié)該方法的一般步驟和適用范圍,并運(yùn)用該方法探究2022年和2023年圓錐曲線(xiàn)高考題,以期優(yōu)化解決此類(lèi)問(wèn)題的思維策略.

1 探究不平移齊次化方法

下面用不平移齊次化方法進(jìn)行證明.

點(diǎn)評(píng)：(1)不平移齊次化方法是一種根據(jù)定點(diǎn)的坐標(biāo),先分析斜率之和或之積的最終表示形式,再等價(jià)變形橢圓方程及構(gòu)造直線(xiàn)方程,將二者聯(lián)立之后,由韋達(dá)定理得到斜率之和或之積的形式.與平移齊次化方法相比,減少了左右、上下平移,解答過(guò)程簡(jiǎn)捷,書(shū)寫(xiě)方便且易理解.

②構(gòu)造直線(xiàn)方程m(x-x0)+n(y-y0)=1;

(3)不平移齊次化適用于已知定點(diǎn)的坐標(biāo)及斜率之和或之積為定值,但不僅限于此(如例3).

(4)性質(zhì)2的證明可以仿照性質(zhì)1的證明過(guò)程.

2 不平移齊次化方法在圓錐曲線(xiàn)中的應(yīng)用

2.1 利用不平移齊次化方法求定點(diǎn)

(1)求曲線(xiàn)C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)(-2,3)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P,Q兩點(diǎn),直線(xiàn)AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明：線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

圖1

故線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)(0,3).

點(diǎn)評(píng)：該題第(2)問(wèn)是引例中性質(zhì)1的模型,即“已知kAM+kAN為定值,則直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)”,只是改變了其中的設(shè)問(wèn)方式.本題的關(guān)鍵點(diǎn)是先將線(xiàn)段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)AM和AN的斜率之和,并利用不平移齊次化方法得到kAM+kAN為定值,整個(gè)解題過(guò)程較為簡(jiǎn)潔.實(shí)際上,2022年全國(guó)數(shù)學(xué)理科乙卷第20題與此題背景相似,也可以用不平移齊次化方法求解,讀者可以嘗試一下.

2.2 利用不平移齊次化方法求定直線(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線(xiàn)與C的左支交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M在第二象限,直線(xiàn)MA1與NA2交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在定直線(xiàn)上.

圖2

點(diǎn)評(píng)：該題考查圓錐曲線(xiàn)中的熱點(diǎn)——定直線(xiàn)問(wèn)題,若用設(shè)線(xiàn)聯(lián)曲和韋達(dá)定理構(gòu)建交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,運(yùn)算中會(huì)出現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)結(jié)構(gòu),轉(zhuǎn)化非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)結(jié)構(gòu)是個(gè)難點(diǎn).而本題采用不平移齊次化方法和雙曲線(xiàn)第三定義巧妙得到了直線(xiàn)A1M和A2N的斜率之間的關(guān)系,聯(lián)立二者的方程,簡(jiǎn)捷地得到其交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為定值,且避免了對(duì)非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化.

2.3 利用不平移齊次化方法求最值

圖3

(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值;

(2)求|CD|的最小值.

點(diǎn)評(píng)：該題以?xún)蓷l直線(xiàn)的斜率之積是定值為背景求距離的最值,巧妙融合不等式、函數(shù)思想和解析幾何,綜合性較強(qiáng).根據(jù)引例的性質(zhì)2,得到“兩條直線(xiàn)的斜率之積為定值”這一關(guān)鍵條件,消去線(xiàn)段|CD|中的一個(gè)變量,從而將求線(xiàn)段|CD|的多變量最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)最值問(wèn)題,再利用柯西不等式或者二次函數(shù)的性質(zhì)求解,體現(xiàn)了函數(shù)和轉(zhuǎn)化思想.

從近幾年高考中的圓錐曲線(xiàn)試題來(lái)看,基于引例中的性質(zhì)命制的試題不在少數(shù),命題不回避這一熱點(diǎn),且常考常新.教師可對(duì)其整理歸納,與學(xué)生一起探究這類(lèi)試題的共同點(diǎn),幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“遷移數(shù)學(xué)知識(shí)、類(lèi)比解題方法,從具體的教學(xué)情境中抽象出共性、方法和體系”.另一方面,從高考試題的研究出發(fā)的命題和解題教學(xué),既能幫助教師把握命題邏輯的正確性,也能幫助教師從不同角度對(duì)高考試題進(jìn)行引申、類(lèi)比和拓展,把試題價(jià)值最大化,還可以幫助教師能從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā),呈現(xiàn)知識(shí)的生成過(guò)程,使得復(fù)習(xí)備考真正做到“精準(zhǔn)高效”.