不平移齊次化方法在圓錐曲線問題中的應用

? 浙江省杭州學軍中學海創園校區 陶勇勝 徐小芳

圓錐曲線問題,由于其側重考查學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養,是高考數學中一個重要的考點,其中一類以直線的斜率之和或者之積為背景的圓錐曲線問題更是近幾年高考中考查的熱點.運用平移齊次化方法求解圓錐曲線問題,具有簡化計算、提高解題效率的作用,但此法需要平移圓錐曲線或者平移整個坐標系,因此,先要重新繪制圖形,且在計算過程中需要左、右或者上、下平移,計算結束后再平移回原來位置,實際書寫也有很多不便.正因為上述不便,所以對平移齊次化方法進行改進顯得很有意義且很有必要.如果不平移圓錐曲線或者不平移整個坐標系而直接采用齊次化方法,是否可以解決這類圓錐曲線問題?本文中先用不平移齊次化方法對幾個常見的模型進行推導,然后總結該方法的一般步驟和適用范圍,并運用該方法探究2022年和2023年圓錐曲線高考題,以期優化解決此類問題的思維策略.

1 探究不平移齊次化方法

下面用不平移齊次化方法進行證明.

點評：(1)不平移齊次化方法是一種根據定點的坐標,先分析斜率之和或之積的最終表示形式,再等價變形橢圓方程及構造直線方程,將二者聯立之后,由韋達定理得到斜率之和或之積的形式.與平移齊次化方法相比,減少了左右、上下平移,解答過程簡捷,書寫方便且易理解.

②構造直線方程m(x-x0)+n(y-y0)=1;

(3)不平……