例談不等式恒成立求參數范圍問題的解題策略

? 湖南省永州市第一中學 周建權

不等式恒成立求參數范圍的問題能夠充分聯系不等式、函數與方程、導數等知識,有利于考查學生數學運算、邏輯推理、數學抽象等學科核心素養,是高考和各地模考的熱點問題.此類問題形式多變、綜合性強,學生往往捉摸不透,本文中結合具體例子談談此類問題的解題策略.

1 分離參數法

分離參數法就是對不等式變形,將參數與變量分離,構造無參數函數,進而研究該函數的最值.

下面重點研究第(2)問的解題策略.

當x=0時,不等式為1≥1,顯然成立,符合題意.

對g(x)求導,得

2 不分離參數,構造函數

參變不易分離,或分離后函數結構復雜不易研究,則可不分離參數,將參數和變量放到不等式同一側,直接構造含參函數.

2.1 直接分析最值

下面給出例1的解法2.

2.2 必要性探路法

必要性探路法指的是利用不等式在一些特殊情況下成立,得到參數的一個取值范圍,該范圍是不等式恒成立的一個必要條件,如果能證明該范圍也是不等成立的充分條件,則該范圍即為所求,如果不是充分條件,也縮小了參數的范圍.

(1)端點效應探路

例2(2022年新高考Ⅱ卷第22題)已知函數f(x)=xeax-ex.(1)略.(2)當x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍.

解：設h(x)=xeax-ex+1,則當x>0時,恒有h(x)<0.

注意到h′(x)=(1+ax)eax-ex,所以h′(0)=0.

設g(x)=(1+ax)eax-ex(x>0),則g(0)=0,且

g′(x)=(2a+a2x)eax-ex.

h′(x)=(1+ax)eax-ex=eax+ln (1+ax)-ex.

下證：對任意x>0,總有ln(1+x)

故x>0時S(x)

eax+ln (1+ax)-ex

所以h′(x)≤0總成立,則h(x)在(0,+∞)上為減函數,故h(x)

當a≤0時,有h′(x)=eax-ex+axeax<1-1+0=0,所以h(x)在(0,+∞)上為減函數,故h(x)

評析：含參函數求最值時往往需要對參數進行分類討論,分類標準的確定是難點和關鍵點.如本題僅從h′(x)=(1+ax)eax-ex的形式較難發現對a進行討論的分類點,如果用端點效應來看,思路就比較清晰了.實際上,利用端點效應有助于確定參數分類討論的標準.

(2)其他特殊點探路

例3(2020年新高考Ⅰ卷第21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)略.(2)若不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍.

解法1：因為f(x)≥1恒成立,所以f(1)=a+lna≥1.令g(a)=a+lna,則g(a)在(0,+∞)單調遞增,且g(1)=1,故由g(a)≥1,得a≥1.

下面證明a≥1時,f(x)≥1恒成立.

當a≥1時,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx.

綜上所述,a的取值范圍是[1,+∞).

評析：利用端點、定點、極點等特殊點探路,需要對不等式結構有較強的觀察分析能力,需要有函數意識、數形結合意識.通過必要性探路,能夠化繁為簡,理清討論的思路,同時也要注意,有時我們找到的必要條件不一定剛好也是充分條件.

3 分離函數法

分離函數法,就是對不等式恒等變形,將一個復雜的含參不等式分解成不等號左右兩邊各一個函數的形式,進而研究這兩個函數的關系.

3.1 構造同構式

下面給出例3的解法2.

解法2：由f(x)≥1,得aex-1-lnx+lna≥1,即eln a+x-1+lna+x-1≥lnx+x,而lnx+x=eln x+ lnx,所以eln a+x-1+lna+x-1≥eln x+lnx.

令h(m)=em+m,則有h(lna+x-1)≥h(lnx).

因為h′(m)=em+1>0,所以h(m)在R上單調遞增,于是可得lna+x-1≥lnx,因此只需lna≥(lnx-x+1)max.

因此a的取值范圍為[1,+∞).

評析：同構指的是結構或形式相同,一些不等式可以通過變形使不等式兩側呈現相同結構,將該結構抽象出來構造函數,利用所構造函數的單調性將結構復雜的恒成立問題轉化為結構簡單的恒成立問題.同構法在“指對混合不等式”出現時用得較多,對代數變形能力要求較高,體現了數學的和諧對稱美,對培養數學抽象、數學運算等核心素養具有重要意義.

3.2 數形結合

圖1

評析：數形結合法就是通過分離函數,將問題轉化為兩個函數圖象位置關系的問題.分離出來的兩個函數一般是“一直一曲”,便于研究位置關系.分離函數后正確畫出函數的圖象是解題的關鍵,需分析函數的定義域、值域、單調性、對稱性、凹凸性、特殊點等.

4 解題感悟

對于不等式恒成立求參數范圍的問題,從參變分離的程度來看,若參變完全分離,則構造的是無參數函數,能夠避免對參數的討論,但存在無參函數結構復雜,不易研究的情況;若參變不分離,則構造的是含參函數,對參數討論標準的確定是難點所在,需對常見超越函數的性質有所積累,有時必要性探路法能提供思路;若參變部分分離,即分離函數法,有時能夠巧妙避免函數結構復雜的情況和對參數的討論,要明確分離的目標往往是構造同構式或便于數形結合的函數.