多角度探究圓錐曲線中的定值問題
——以2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科第20題為例

? 浙江省湖州市濱湖高級(jí)中學(xué) 鄭夢(mèng)華

? 浙江省湖州中學(xué) 祝峰澤

1 真題再現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)(-2,3)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．

分析：第(1)問求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,屬較易題;第(2)問解析可采用常規(guī)的韋達(dá)定理方法,本文中不再贅述.本題第(2)問考查學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)解決平面解析幾何問題的能力,較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2 追本溯源

(1)求E的方程;

(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

該題是一道常規(guī)的解析幾何題,命制背景為極點(diǎn)和極線,考查了解析幾何的基本思想和基本方法,對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求很高,很好地起到了區(qū)分的作用.該類型題目在近年高考卷中也多次出現(xiàn),例如,2010年的江蘇卷第18題.因此,研究高考真題是教師最重要的教學(xué)策略之一.

3 真題第(2)問的解法賞析

解法一：平移坐標(biāo)系角度.

評(píng)注：對(duì)于第(2)問,如果利用常規(guī)方法求解,因?yàn)橹本€PQ經(jīng)過(guò)的點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上,所以聯(lián)立方程后的計(jì)算量非常大,而使用解法一能夠極大減小計(jì)算量,但難點(diǎn)在于坐標(biāo)系平移前后的各點(diǎn)坐標(biāo)變化,對(duì)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想要求較高.

解法二：參數(shù)方程角度.

評(píng)注：解法二從直線PQ的傾斜角入手,利用直線的參數(shù)方程解決問題.在運(yùn)算的過(guò)程中還需用到三角恒等變換的一些知識(shí),計(jì)算量小,非常簡(jiǎn)潔.

解法三：定比點(diǎn)差法角度.

①

評(píng)注：定比點(diǎn)差法,其本質(zhì)是利用定比分點(diǎn)和圓錐曲線方程中橫、縱坐標(biāo)表達(dá)式的一致性,優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程的變形手段,是處理圓錐曲線弦上三點(diǎn)問題的一大通法.

解法四：構(gòu)造二次方程角度.

設(shè)直線PQ方程為y=k(x+2)+3,將點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別代入直線方程,可得

即k1,k2是方程12x2-36x+36k+27=0的兩個(gè)根,易知yM+yN=2(k1+k2)=6,即證得直線MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)(0,3).

評(píng)注：解法四著重考查函數(shù)與方程的思想,尤其是函數(shù)問題中常用的同構(gòu)思想,技巧性較強(qiáng),同時(shí)大大減小了運(yùn)算量,在解題過(guò)程中起到了事半功倍的效果.

解法五：二次曲線系方程角度.

引理：過(guò)平面上三點(diǎn)A,B,D及點(diǎn)A的切線l的二次曲線系方程可設(shè)為l·lBD+λlAB·lAD=0.

評(píng)注：解法五應(yīng)用二次曲線系方程[2]中過(guò)三點(diǎn)及一條切線的二次曲線方程,隨后利用待定系數(shù)法將所設(shè)方程和原橢圓方程進(jìn)行對(duì)比從而求出參數(shù),該解法非高中數(shù)學(xué)常規(guī)內(nèi)容,多用于競(jìng)賽題的求解.

前文提到過(guò)該題的背景是極點(diǎn)極線,在高中的視角下,極點(diǎn)極線經(jīng)常用于命制圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦模型試題.筆者不禁思考：在一般的橢圓方程中是否還有類似規(guī)律呢?如果點(diǎn)D為直線x=-a上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作橢圓的兩條切線,得到的切點(diǎn)弦即為極線,此時(shí)是否還有類似結(jié)論?對(duì)于雙曲線和拋物線呢?

4 推廣探究

推廣4(縱向推廣)已知拋物線方程：y2=2px(p>0),A為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)y軸上任一點(diǎn)D(非點(diǎn)A)作拋物線的兩條切線切于點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)D作一條直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn),設(shè)直線AB,AP,AQ的斜率分別為k0,k1,k2,則k1+k2=2k0.

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上述多角度探究、思考與推廣探究,真題本質(zhì)也逐漸被揭開,同時(shí),也啟示我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中要抓住問題的本質(zhì).教師在教學(xué)中可以適當(dāng)補(bǔ)充一些一類問題的本源,尤其是經(jīng)常作為高考真題的命制背景問題;學(xué)生也可以適當(dāng)總結(jié)問題的本質(zhì),從而提高核心素養(yǎng),提高數(shù)學(xué)解題能力.