不等式情境,函數性視角
——一道不等式存在性問題的探究

? 江蘇省宿遷中學 蔣玉飛

含參不等式的存在性問題是高考數學試卷中比較常見的一類綜合應用問題,經常交匯融合函數與不等式的相關知識,場景變化多端,形式創新多變,是知識綜合與創新應用的一個重要載體.此類問題經常借助含參不等式的合理恒等變形與等價轉化,綜合利用不等式的基本性質轉化為函數問題,從函數的視角來分析,借助函數的基本性質、圖象等來處理與應用,實現問題的巧妙解決.

1 問題呈現

問題(山東省新高考聯合質量測評2022年12月聯考數學試卷·16)若存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

此題結合含參不等式存在性問題的創新設置,以指數函數、對數函數的復合形式作為基本載體,結合對應參數的取值范圍的求解來創設問題.

在實際分析與解決該問題時,從含參不等式入手進行變形與轉化,通過不等式的基本性質加以等價變形與應用,借助同構函數思維或函數的隱零點思維等視角來切入,展示靈活多變的解法與應用.

2 問題破解

2.1 思維視角一：同構函數思維

方法1：同構法1.

解析：依題意,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

同構函數f(x)=xex,x∈(0,+∞),求導有f′(x)=(x+1)ex>0恒成立.

所以函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

所以當x∈(0,1)時,g′(x)<0;當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0.

因此函數g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.

所以g(x)≥g(1)=e,則實數a的取值范圍為(e,+∞).故填答案：(e,+∞).

方法2：同構法2.

解析：依題意,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

因為x>0,所以ex>1.又aln(ax)>ex>0,且a>0,所以ax>1.

同構函數f(x)=xlnx,x∈(1,+∞),求導有f′(x)=lnx+1>0恒成立.

所以函數f(x)在(1,+∞)上單調遞增.

所以實數a的取值范圍為(e,+∞).

故填答案：(e,+∞).

方法3：同構法3.

解析：依題意知a>0.

同構函數f(x)=ex+x,易知函數f(x)在R上單調遞增.

所以只需x-lnax-lnx成立.

所以當x∈(0,1)時,g′(x)<0;當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0.

因此函數g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.

所以g(x)≥g(1)=e,則實數a的取值范圍為(e,+∞).故填答案：(e,+∞).

解后反思：根據題設中不等式的恒等變形與轉化,合理配湊不等式,使得不等式兩邊的結構特征相類似,從不同思維視角尋找同型、同構函數,結合參數的分離,以及函數單調性與最值的確定,巧妙求解參數的取值范圍問題.不同視角的恒等變形,尋找共性,配湊同型,對應同構不同的函數,都可以達到解決問題的目的.

2.2 思維視角二：隱零點思維

方法4：帶參討論法.

解析：依題意知a>0,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

構建函數f(x)=ex-alnx-alna,x∈(0,+∞),則只需f(x)min<0即可.

令函數g(x)=xex-a(x>0),求導有g′(x)=(x+1)ex>0恒成立,所以函數g(x)在(0,+∞)上單調遞增.

當x→0時,g(x)→-a<0;當x→+∞時,g(x)→+∞.

所以,當x∈(0,x0)時,g(x)<0,則f′(x)<0;當x∈(x0,+∞)時,g(x)>0,則f′(x)>0.

因此函數f(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增.

因此f(x)min=2a-2alna<0,即1-lna<0,解得a>e.

所以實數a的取值范圍為(e,+∞).

故填答案：(e,+∞).

解后反思：根據題設將不等式存在性問題轉化為函數的最小值小于0的問題,實現不等式問題函數化,進而結合含參函數的構建與求導處理,通過確定函數的隱零點,利用代換思維確定函數的最小值,進而確定相應的不等式,為求解參數的取值范圍打下基礎.此類利用函數的隱零點思維來處理的問題,解題時優化隱零點的取值范圍是關鍵,也是破解問題的重點之一.

3 變式拓展

根據以上問題的“一題多解”,進一步加以發散思維,開拓方法,鞏固相關的基礎知識與基本方法,進行“一題多變”.

變式如果存在x∈(0,+∞),使得不等式(x+a)e2x

解析：構建函數f(x)=(x+a)e2x-a(x>0),則有f(0)=0.

依題意,存在x∈(0,+∞),使得不等式(x+a)·e2x

求導,有f′(x)=(2x+2a+1)e2x.

4 教學啟示

4.1 思維方法總結,技巧策略歸納

破解此類含參不等式存在性問題的參數的值、取值范圍或最值等相關問題中,常用的技巧方法就是從函數視角切入,結合函數性質來分析與處理.常見的技巧策略主要有以下幾類：

(1)帶參討論.合理分類討論,利用函數的隱零點方程代換確定相關的最值,解題時注意優化函數隱零點的取值范圍及等價轉化.

(2)合理構造函數.經常借助不等式的恒等變形,尋找不等式兩邊對應的代數關系式結構特征中的共性與同型,巧妙同構函數,利用函數的單調性以及參變分離法等來綜合與求解.

(3)合理分離參數.主要針對能夠分離出對應參數的相關問題,一般在等式或不等式的一邊只含有參數,另一邊是基本初等函數或對應的復合函數,進而通過數形結合等直觀思維求解.

4.2 倡導“一題多解”,培養核心素養

“一題多解”對學生數學邏輯思維能力的培養有著重要影響,教師應注重將“一題多解”的意識滲透到數學課堂解題教學中.借助“一題多解”,從不同角度進行解法探究,讓學生在解題探究中感悟數學思想方法之美,同時結合“一題多變”,達到“一題多得”“一題多思”等良好效果,培養思維的發散性與開拓性,全面開拓視野,提升數學能力與數學品質,培養核心素養.