一道三角最值題的破解與拓展探究

? 浙江省杭州市蕭山區(qū)第三高級中學(xué) 傅小燕

三角函數(shù)的最值或取值范圍等綜合問題,一直是高考中三角函數(shù)知識模塊的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一,可以很好融合三角函數(shù)的基本概念、基本公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等,以及函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式及其應(yīng)用等相關(guān)知識,思維視角多樣,方法技巧多變,是全面考查數(shù)學(xué)“四基”與數(shù)學(xué)能力、展示知識交匯與體現(xiàn)方法多樣性的一個(gè)重要場所,倍受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

根據(jù)題設(shè)條件中三角函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,往往可以從三角函數(shù)思維、解析幾何思維以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維等切入,結(jié)合不同的數(shù)學(xué)思維與技巧策略,以及三角函數(shù)的基本知識與基本方法等的分析與應(yīng)用,呈現(xiàn)精彩紛呈、靈活多變的技巧方法.在此題設(shè)條件下,巧妙變式拓展,達(dá)到“一題多思”與“一題多變”,實(shí)現(xiàn)“一題多得”的目的.

2 問題破解

2.1 三角函數(shù)思維

方法1：二倍角公式法.

解析：依題意,結(jié)合三角函數(shù)中的二倍角公式有

方法2：萬能公式法.

解析：依題意,結(jié)合三角函數(shù)中的萬能公式有

接下來部分同方法1.

解后反思：回歸三角函數(shù)本質(zhì),利用三角函數(shù)思維,借助三角恒等變換中的二倍角公式或萬能公式轉(zhuǎn)化對應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而利用二次函數(shù)確定相應(yīng)的最值問題.三角函數(shù)思維是最本能的一種思維方式,借助三角函數(shù)思維來分析與處理,公式變形與數(shù)學(xué)運(yùn)算比較繁雜,確有一定的難度.

2.2 解析幾何思維

方法3：數(shù)形結(jié)合法.

圖1

解后反思：結(jié)合分式型函數(shù)的最值情境,合理聯(lián)想到直線的斜率模型,利用解析幾何思維加以數(shù)形結(jié)合,直觀分析,是解決此類問題中比較常用的一種方法.在數(shù)形結(jié)合直觀處理此類問題時(shí),要注意對分式型函數(shù)進(jìn)行必要的變形與轉(zhuǎn)化,并確定變量的取值范圍,這樣“數(shù)”與“形”之間才能實(shí)現(xiàn)無縫鏈接.

2.3 導(dǎo)數(shù)思維

方法4：導(dǎo)數(shù)法.

解后反思：回歸本源,三角函數(shù)作為函數(shù)中的一種特殊類型,涉及最值問題的求解往往都可以利用導(dǎo)數(shù)思維.借助函數(shù)求導(dǎo)處理來確定函數(shù)的單調(diào)性,是破解此類問題中的一種“巧技妙法”.利用導(dǎo)數(shù)思維解決最值問題時(shí),思維比較常規(guī),步驟比較熟悉,問題的解決更加簡單快捷.

3 變式拓展

3.1 同階變形

保留題設(shè)條件中自變量的范圍,改變設(shè)問方式來合理變式.

3.2 高階變形

保留題設(shè)條件中的函數(shù)解析式,取消對自變量范圍的限制,實(shí)現(xiàn)問題的綜合變式.

解析：待定系數(shù)法.

(t-1)sinx+2tcosx=1.

根據(jù)輔助角公式,可得

4 教學(xué)啟示

4.1 不同思維切入,技巧方法對比

在解決此類涉及給定區(qū)間的三角函數(shù)關(guān)系式的取值范圍(或最值)問題時(shí),回歸三角函數(shù)思維是破解問題中最為常用的技巧方法,利用三角恒等變換公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,合理變形成一個(gè)可以判斷范圍的三角關(guān)系式來求解;借助三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,合理構(gòu)建與之相吻合的模型——直線的斜率公式,是利用解析幾何思維解決問題的關(guān)鍵;而回歸函數(shù)的本質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)思維來解決對應(yīng)函數(shù)的取值范圍(或最值),是解決此類函數(shù)問題中最為基本的一種方法,有時(shí)只是運(yùn)算量比較大而已.不同的思維視角與技巧方法,各有各的特點(diǎn),可以結(jié)合自身的理解與掌握情況來合理選擇與巧妙應(yīng)用.

4.2 倡導(dǎo)“一題多解”,開拓“一題多變”

涉及三角函數(shù)的最值或取值范圍等綜合應(yīng)用問題,體現(xiàn)了多知識模塊之間的交匯與融合.通過多知識交匯應(yīng)用,結(jié)合多思維視角切入,實(shí)現(xiàn)多技巧方法破解,并加以深入分析、挖掘、探究,達(dá)到“一題多思”“一題多解”的目的.在此基礎(chǔ)上加以不斷提升,實(shí)現(xiàn)“一題多變”“一題多拓”“一題多得”等,充分復(fù)習(xí)、鞏固、總結(jié)數(shù)學(xué)相關(guān)知識和數(shù)學(xué)思想方法等,全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)能力,為學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣、優(yōu)良的數(shù)學(xué)品質(zhì)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面都做了有益的嘗試.