對一道解析幾何試題的探究與拓展

? 浙江杭州第二中學錢江學校 周杭敏

? 中國礦業(yè)大學 周勝煒

1 真題呈現(xiàn)

解析幾何在全國新高考卷中分值占比較大,往往以2個客觀題、1個解答題的形式出現(xiàn),是考查的重點,備受關注.下面我們從一道高考真題說起.

這是2022年全國數(shù)學新高考Ⅰ卷的第21題,主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線與雙曲線的位置關系等知識,涉及數(shù)形結合、方程思想等.在情境“兩直線的斜率之和為0”中融入了簡單的“對稱關系”,立足常規(guī)又超越常規(guī),凸顯了新高考基礎性、綜合性、應用性及創(chuàng)新性的要求.

2 一題多解

2.1 立足常規(guī),提升數(shù)學運算素養(yǎng)

解法1：線參法一,設直線PQ的方程.

如圖1,顯然直線l的斜率存在.設l：y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2).

圖1

聯(lián)立直線與雙曲線方程,可得(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0.

整理,得

2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0.

化簡,得(k+1)(m+2k-1)=0.

而直線l不過點A,即2k+m≠1,故k=-1.

評注：設直線l：y=kx+m時還需考慮斜率不存在的情況,故還可設l：x=ty+n,避免分類討論.“設直線方程—聯(lián)立方程組—消元—韋達定理……”,整個過程展現(xiàn)了利用坐標思想解決幾何問題的一般程序,屬于通性通法.目標明確,思路清晰,符合大部分學生的思維習慣.運用這種方法學生容易拿到部分過程分,但缺點是計算量大,計算結果易錯,所以在平時教學中要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng).

解法2：線參法二,設直線AP,AQ的方程.

設直線AP的斜率為k,則直線AP的方程為y-1=k(x-2),與雙曲線方程聯(lián)立,得

(1-2k2)x2+4(2k2-k)x-4+8k-8k2=0.

評注：在兩條相關聯(lián)的直線與圓錐曲線交匯生成的問題中,要會靈活運用同構運算,因為解題過程中常常有算理相同的運算.只要認真仔細地算準一個表達式,那么另一個表達式就可以通過同構替代,進而簡化運算.例如,本題中根據兩條直線斜率之和為0,可用-k代換k,快速得到x2,y2.

另本題也可以不求y1,y2.

因為AQ：y=1-k(x-2),所以

解法3：直線參數(shù)方程法.

評注：引入參數(shù),利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,搭建起題目中量與量之間的關系,建立方程來求解,減少了運算量,這種方法在探究解析幾何問題中有獨特優(yōu)勢.

解法4：點差法.

設P(x1,y1),Q(x2,y2),由kAP+kAQ=0,得

①

2y1y2+x1x2-2(y1-y2)-2(x1-x2)-6=0.

②

同理考慮點A,Q得

2y1y2+x1x2+2(y1-y2)+2(x1-x2)-6=0.

③

評注：維果茨基提出要在學生的“最近發(fā)展區(qū)”教學,啟發(fā)學生思考與交流.“點差法”是解決圓錐曲線問題的一種常用方法,引導學生嘗試從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題,在層層遞進的學習中提煉方法,積累數(shù)學活動經驗.

2.2 轉化化歸,提升邏輯推理素養(yǎng)

解法5：齊次化簡法.

設PQ：m(x-2)+n(y-1)=1,P(x1,y1),Q(x2,y2).

(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-4(y-1)=0.

聯(lián)立,齊次化,得(x-2)2-2(y-1)2+[4(x-2)-4(y-1)][m(x-2)+n(y-1)]=0.

整理,得(-2-4n)(y-1)2+(-4m+4n)·(x-2)(y-1)+(1+4m)(x-2)2=0,即

所以PQ：m(x-2)+m(y-1)=1.故kPQ=-1.

解法6：坐標平移法.

于是雙曲線方程C′：(x′+2)2-2(y′+1)2=2,即

x′2-2y′2+4x′-4y′=0.

設l：m(x-2)+n(y-1)=1,即l：mx′+ny′=1,故可得x′2-2y′2+(4x′-4y′)(mx′+ny′)=0.

評注：解法6與解法5本質類似,都是將問題由“繁”到“簡”,化“異”為“同”.通過齊次化簡,進一步提升轉化化歸能力,發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng).

2.3 特值探路,提升直觀想象素養(yǎng)

解法7：特值探路.

特值1：取點P,Q,使得kAP=1,kAQ=-1,算出點P,Q的坐標,可得結論,但解題速度不一定是最快的.

特值2：極限思想法.如圖2所示,借助幾何畫板,當點P,Q同時趨近于點A的對稱點A′時,kAP→+∞,kAQ→-∞,滿足kAP+kAQ=0.故此時直線PQ的斜率即為點A′處切線的斜率,易得kPQ=-1.

圖2

評注：波利亞認為解題要注重聯(lián)想,提出解題需要預測和回憶,上述特值法便是聯(lián)想.從特殊點或特殊位置入手,大膽猜想結論,從而找到證明目標,是解決這類問題的策略之一.先求得運算結果有助于優(yōu)化運算方法,提升學習信心;之后再推理證明,從特殊到一般,充分體現(xiàn)解析幾何“先用幾何眼光觀察,再用代數(shù)方法證明”的學科思想.這種以自主學習、探索為主的教學模式,與杜威所倡導的“發(fā)現(xiàn)問題、提出假設、驗證假設、形成結論”教學流程不謀而合.

多角度審視,可以看清問題的本質.一題多解,橫縱銜接,有利于不同水平的學生作答,拓展思維,從而觸類旁通.但方法越多,也越需要梳理,同時要研究適用對象,把握解析幾何的本質,突出理性思維.

綜上,研究解析幾何試題,主要有“線參”和“點參”兩種通法.在具體實踐中,解法1與解法2為大多數(shù)考生所選用,思路清晰,能拿部分得分,但計算量大;解法3～6對學生思維能力的考查要求較高,內涵豐富,且運算量相對減少,更適合尖子生脫穎而出,而解法7相較更適用于選擇題或填空題.正如章建躍博士所說,高考命題的目標是“既要均值,也要方差”,不僅要兼顧基礎,讓多數(shù)學生學有所得,也要加大區(qū)分度,便于選拔出拔尖創(chuàng)新人才.

3 追本探源

數(shù)學家哈爾莫斯說：“The problem is the key.”此時教師及時提出以下問題：

(1)我們能夠總結出解這道題的方法嗎?

(2)我們能否一起探究出這道試題背后蘊藏的機理?是否有相關性質或結論,便于后期快速解題?

(3)我們是否可以嘗試變式,并且運用已學的方法證明?

(4)你是否在其他題目中也用到過這些方法?

3.1 試題背景

傾角互補,連線定角：當點P在曲線C上,過點P作兩斜率互為相反數(shù)的直線,這兩條直線與曲線C的兩個交點分別為A,B,則直線AB的斜率為定值.

該結論適用于橢圓、雙曲線和拋物線.

3.2 二級結論

重現(xiàn)經典問題往往可得出一系列結論,讓學生的數(shù)學思維走向深刻、走向深入,促進對問題的深度理解.學生獨立思考,相互探討,合作交流.

以橢圓為例,得到了以下4個二級結論：

類比橢圓,雙曲線、拋物線也有類似的二級結論,此處不作具體論述.

4 一題多變

4.1 變式研究

4.2 聯(lián)系真題

真題1(2009年江蘇高中數(shù)學聯(lián)賽解答題第2題)

已知拋物線y2=2x及點P(1,1),過點P且不重合的直線l1,l2與此拋物線分別交于點A,B,C,D,證明：A,B,C,D四點共圓的充要條件是直線l1,l2的傾斜角互補.

(1)求C的方程;

5 小結反思

縱觀近幾年全國卷新高考試題,發(fā)現(xiàn)全國卷不回避以往的高考題和常用結論.解析幾何大題注重基礎,很多題目來源于教材或歷年高考題,而且都有著內涵豐富的知識背景.從一題多解到一題多變,亦或是多題一解,我們要鼓勵學生“多思少算”,打破以往的“模式化”,充分挖掘題目的教學價值,發(fā)展創(chuàng)新思維能力和應用數(shù)學解決實際問題的能力,提升數(shù)學素養(yǎng).同時,在新高考、新教材的銜接中要主動改革學習方式和育人方式,貫徹立德樹人的要求.

2024年1月,教育部教育考試院命制數(shù)學科適應性測試卷,并組織了相關省份進行適應性演練.其中第18題解析幾何題不僅分值增加,而且更突出對學生思維品質的考查,引起一線教師和專家學者的廣泛關注.教師更加深刻地認識到教學中要引導學生回歸教材,減少死記硬背和機械刷題,學會融會貫通、靈活應用;鼓勵學生夯實基礎,多角度思考,深入探究,從而提升思維品質和數(shù)學素養(yǎng).

教學是一門藝術,是一門可以一直追求完美,但不可能完美的藝術.知識、能力與素養(yǎng)都是我們追求的目標.路漫漫其修遠兮,只要不停息,一起一步步地繼續(xù)探索,數(shù)學核心素養(yǎng)自然會在學生心里生根發(fā)芽,慢慢生長.