基于數(shù)學(xué)命題方式,實(shí)現(xiàn)問題價(jià)值提升

? 江蘇省海門中學(xué) 李 玲

數(shù)學(xué)試題的命題,是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中一項(xiàng)重要而又嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ?在一定程度上體現(xiàn)數(shù)學(xué)教師與教研員等對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法等的提煉程度,以及自身所具備的一定數(shù)學(xué)專業(yè)水平等,具有一定的技術(shù)與技巧.這往往也在一定程度上展示數(shù)學(xué)教師與教研員等的一項(xiàng)基本能力與水平.

數(shù)學(xué)試題的命題,往往是一個(gè)反復(fù)琢磨、不斷修改的復(fù)雜過程.而這些典型的數(shù)學(xué)試題,特別是高考真題、競(jìng)賽題、模擬題等優(yōu)秀的試題,往往都不是憑空生造出來的,可能是依托某種問題情境或借助某個(gè)核心概念,也可能是源于相應(yīng)的經(jīng)典問題等,巧妙通過合理改編、創(chuàng)新包裝、巧妙拓展、知識(shí)構(gòu)建等多種形式來創(chuàng)設(shè),或新舊結(jié)合,或喬裝打扮,或移花接木,或推倒重建等,手段翻新,創(chuàng)新應(yīng)用,再進(jìn)一步加以合理的修改與完善,才有平時(shí)見到的高質(zhì)量的數(shù)學(xué)試題.

本文以模擬題中的一些典型試題為例,結(jié)合數(shù)學(xué)命題的幾種常見方式,如合理改編、創(chuàng)新包裝、巧妙構(gòu)建等,并結(jié)合實(shí)例剖析數(shù)學(xué)實(shí)際命題的一些操作方法與技巧策略,拋磚引玉.

1 合理改編

根據(jù)已有的試題(教材的例習(xí)題、高考真題等),結(jié)合教學(xué)的需要與學(xué)生的實(shí)際情況等,從挖掘問題背景、融合數(shù)學(xué)知識(shí),提煉思想方法,優(yōu)化解題策略、展示問題價(jià)值等層面入手,合理加以改編,借助試題背景的觀察、知識(shí)點(diǎn)的延伸以及變式的推廣等方式,深化對(duì)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與掌握,拓展良好的數(shù)學(xué)思想方法與解題技巧策略.

合理改編的題源往往是教材的典型例(習(xí))題、往屆的高考真題以及以往比較典型的高考模擬題等.這些問題都是數(shù)學(xué)專家、數(shù)學(xué)教師等智慧的結(jié)晶以及勞動(dòng)成果的展示.

例1(2024屆山東省濟(jì)南市高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試·16)若函數(shù)f(x)=|(1-x2)(x2+ax+b)|-c(c≠0)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,且f(x)有且僅有4個(gè)零點(diǎn),則a+b+c的值為______.(答案：39.)

以上高考模擬題改編自2013年高考數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)Ⅰ卷中的試題,在高考真題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步構(gòu)造絕對(duì)值的問題場(chǎng)景,同時(shí)引入第三個(gè)參數(shù)變量,并巧妙融入函數(shù)的零點(diǎn),進(jìn)而借助三個(gè)參數(shù)變量的和式的值來創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用.

鏈接高考(2013年新課標(biāo)Ⅰ卷理科·16)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,則f(x)的最大值為______.(答案：16.)

以一道高考真題的熟悉場(chǎng)景,巧妙與其他相關(guān)的函數(shù)知識(shí)加以交匯,從“雙變量”的函數(shù)應(yīng)用問題改編成以上“三變量”的函數(shù)綜合問題,很好實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)“四基”的把握情況與數(shù)學(xué)能力的全面考查,是一道非常不錯(cuò)的改編題,值得很好深入研究、細(xì)細(xì)品鑒.

當(dāng)然,基于原問題,還可以從不同思維視角與研究層面加以進(jìn)一步的改編,實(shí)現(xiàn)變式應(yīng)用與拓展.

變式1若函數(shù)f(x)=|(1-x2)(x2+ax+b)|-c的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,且f(x)有且僅有4個(gè)零點(diǎn),則a+b+c的值為______.(答案：23或39.)

變式2若函數(shù)f(x)=|(1-x2)(x2+ax+b)|-c的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,且f(x)有且僅有7個(gè)零點(diǎn),則a+b+c的值為______.(答案：32.)

借助問題的合理改編,回歸數(shù)學(xué)本質(zhì),立足數(shù)學(xué)基礎(chǔ),巧妙引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí),進(jìn)而充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)能力等方面的有機(jī)聯(lián)系.而此數(shù)學(xué)命題的改編,也充分說明教學(xué)與學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)教材與課程標(biāo)準(zhǔn)要求,考查知識(shí)、方法與能力的試題都源于教材(往年高考真題)意料之外,植于教材(往年高考真題)情理之中,高于教材(往年高考真題)能力之上.

2 創(chuàng)新包裝

對(duì)考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等方面的考查,往往是基于數(shù)學(xué)試題來達(dá)到目的.而在具體數(shù)學(xué)命題時(shí),有時(shí)對(duì)核心考點(diǎn)的考查是直接展示,而有時(shí)對(duì)核心考點(diǎn)的考查是通過創(chuàng)新包裝來實(shí)現(xiàn)的.

而對(duì)于創(chuàng)新包裝的數(shù)學(xué)試題,就要全面剖析題設(shè)條件,挖掘題目的條件與內(nèi)涵,直擊核心考點(diǎn)的本質(zhì),撕開創(chuàng)新的“包裝”外表,直達(dá)核心知識(shí),進(jìn)而利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)來分析與應(yīng)用,得以分析與解決問題.

圖1

點(diǎn)評(píng)：該題以三角形為載體,結(jié)合三角形的基本性質(zhì)以及平面向量的數(shù)量積等創(chuàng)設(shè),包裝創(chuàng)新新穎,而實(shí)質(zhì)是考查解三角形與函數(shù)的應(yīng)用等.如何從創(chuàng)新包裝場(chǎng)景上逐步展開,合理構(gòu)建涉及三角形內(nèi)角的函數(shù)值的表達(dá)式,進(jìn)而借助函數(shù)的基本性質(zhì)來分析相應(yīng)的取值范圍問題.與創(chuàng)新包裝形式來設(shè)置命題,交匯融合知識(shí),進(jìn)而開拓?cái)?shù)學(xué)品質(zhì),鞏固數(shù)學(xué)“四基”與創(chuàng)新應(yīng)用.

借助創(chuàng)新形式或創(chuàng)新包裝的一些數(shù)學(xué)試題,融入更多的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用,有時(shí)還增加相應(yīng)的閱讀理解等方面的知識(shí),令人耳目一新,更能考查考生的綜合能力.

3 巧妙構(gòu)建

源于應(yīng)用情境的構(gòu)建、問題背景的創(chuàng)設(shè)等是數(shù)學(xué)命題的一個(gè)重要設(shè)置模式,綜合數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用,展示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,對(duì)數(shù)學(xué)問題的了解與認(rèn)識(shí)、處理與解決等過程中經(jīng)常用到的一種技巧與方法.

特別是一些基于數(shù)學(xué)文化、現(xiàn)實(shí)生活等應(yīng)用場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)問題,要從問題場(chǎng)景中合理且巧妙構(gòu)建對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí),利用數(shù)學(xué)的語言(包括數(shù)學(xué)定義與數(shù)學(xué)公式等)來表達(dá),進(jìn)而結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)來分析與解決對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.

圖2

(2)證明：AD·BC+AB·CD≥BD·AC.(略)

點(diǎn)評(píng)：基于數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用場(chǎng)景,借助數(shù)學(xué)建模,巧妙構(gòu)建解三角形問題,是解決該問題的關(guān)鍵所在.在解決此類涉及數(shù)學(xué)文化、現(xiàn)實(shí)生活等應(yīng)用場(chǎng)景問題時(shí),正確閱讀理解,挖掘問題內(nèi)涵,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,開拓?cái)?shù)學(xué)思維,綜合數(shù)學(xué)知識(shí),進(jìn)而處理應(yīng)用等.

巧妙創(chuàng)設(shè)或構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,要加以合理引導(dǎo)與知識(shí)過渡.在這一過程中,合理引導(dǎo)考生建立起與問題相吻合的數(shù)學(xué)模型,綜合數(shù)學(xué)概念的掌握、數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以及數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用來達(dá)到目的,實(shí)現(xiàn)考核與區(qū)分的目的.

在實(shí)際數(shù)學(xué)命題時(shí),命題有法,又無定法,不是一成不變的.而在實(shí)際教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中,不斷提高數(shù)學(xué)試題的命題水平是數(shù)學(xué)教師與教研員所追求的目標(biāo)之一,需要在日常教學(xué)與解題研究過程中不斷積累各方面的素材,開拓知識(shí)面,理解更多的知識(shí),構(gòu)筑一個(gè)更寬廣的知識(shí)基礎(chǔ),同時(shí)用心琢磨高考真題、教材例題(或習(xí)題)、模考試題等相應(yīng)好題的命制思路,不停反思,不斷實(shí)踐,不斷修改,不斷反饋,逐步提升.