“三叉戟”模型在解析幾何中的深度應(yīng)用

? 河北定州中學(xué) 陳淑紅

? 北京交通大學(xué) 朱奕帆

平移齊次法是近幾年網(wǎng)上非常流行的解決圓錐曲線綜合問題的方法.處理方法是先平移坐標(biāo)系,將給定的點平移至坐標(biāo)原點,轉(zhuǎn)化為兩直線過原點的類型,齊次化后兩直線的斜率之和(或積)為常數(shù),可以解決與斜率之和(或積)有關(guān)的定點、定值或軌跡等問題.過定點的兩條直線與圓錐曲線有兩個交點,定點和兩個交點構(gòu)成三角形,由于三角形形狀類似三叉戟,因此我們把這種模型稱為“三叉戟”模型.

分析：△APQ由定點A和兩個交點P,Q構(gòu)成,符合“三叉戟”模型,可以采用平移齊次法,將雙曲線向左平移2個單位長度,向下平移1個單位長度,消去常數(shù)項,與PQ平移后的直線P′Q′聯(lián)立,運用韋達(dá)定理得到直線OP′,OQ′的斜率之和為0.

上式兩邊同除以x2,得

因為平移前后兩直線的斜率不會發(fā)生改變,所以直線l的斜率為-1.

(1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,證明：∠OMA=∠OMB.

分析：本題第(2)問實質(zhì)是要證明kOA+kOB=0,應(yīng)用“三叉戟”模型,利用韋達(dá)定理表示斜率的和與積,但是因為點M不在橢圓上,平移后橢圓的方程中既包含x,y的二次項和x,y的一次項,還包含常數(shù)項,對運算求解能力提出了更高的要求.

解：(1)解答略.

將直線AB平移至A′B′：x=my-1,即1=my-x.

將C′的方程齊次化,得

所以kO′A′+kO′B′=0,即∠OMA=∠OMB.

將直線方程以“1”的形式代入圓錐曲線,可以直接乘在一次式上,也可以平方后乘在常數(shù)項上,湊成齊次式.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點B(-2,3)的直線交橢圓于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明：線段MN的中點為定點．

分析：平移坐標(biāo)系后,線段MN的中點為定點等價于直線OP′,OQ′與x=2交點的中點為定點.

由題意知,直線P′Q′的斜率存在.

設(shè)OP′：y=k1x,OQ′：y=k2x,分別與x=2聯(lián)立得到y(tǒng)M′=2k1,yN′=2k2.

因為平移前后中點的位置相對不變,所以線段MN的中點為定點(0,3).

分析：按傳統(tǒng)方法求解,直線PA,PB與直線CD的交點坐標(biāo)計算量大,平移后,轉(zhuǎn)化為過原點的兩條直線與另一條直線的交點,交點坐標(biāo)均用斜率來表示.

令kO′A′=k1,kO′B′=k2,則

對于圓錐曲線中的雙斜率問題,常規(guī)方法是聯(lián)立方程,結(jié)合韋達(dá)定理求解,若題目中出現(xiàn)了過定點的“三叉戟”模型,可以選擇平移齊次法減少運算.平移齊次法的本質(zhì)是用過原點的兩條直線的斜率表示相關(guān)元素,符合解方程組聯(lián)立代入的思想,是解析幾何運算思路的拓展和引申.