泰勒公式與高考試題

? 湖北省荊州中學 謝 俊

泰勒(Taylor)以微積分中將函數展開成無窮級數的定理而著稱于世.泰勒公式把初等函數與超越函數以逼近形式緊密地聯系了起來,泰勒公式扮演了非常重要的角色,泰勒公式即有高考導數命題中最常見的高等數學背景,又有以其背景而衍生出來的一些精彩結論.這些結論備受高考命題者的青睞,本文中試圖就歷年的高考試題來探究其深厚的淵源,從而展示泰勒公式阿娜多姿的風采.

1 高數知識

1.1 泰勒公式

若函數f(x)在點x0處存在n階導數,則有

①

上面①式也稱為麥克勞林(Maclanrin)公式.

1.2 常見的泰勒公式

截取片段,就構成了高考中常見的不等式：

由泰勒公式演繹出來的不等式是高考的熱點,通過對其變形、賦值、替換等,又可以得出很多精彩的結論.我們對這些結論追本溯源,掌握其基本規律,就可以從容面對,快速找到解題思路、方法.

2 高考試題

2.1 泰勒公式與大小比較

A.a

C.c

解：由泰勒公式,有

顯然c

2.2 泰勒公式與探路求值

例2(2021年八省新高考適應考試題)已知f(x)=ex-sinx-cosx,g(x)=ex+sinx+cosx.

(2)若g(x)≥2+ax,求a.

解：(1)證明略.

(2)(必要性探路)由泰勒公式,有

②

③

④

由②+③+④,得

上式中,sinx,cosx中的負項全部被ex中的正項抵消,于是得到g(x)=ex+sinx+cosx≥2+2x成立,所以,背景出來了,a=2.

(充分性證明)在(1)中,令

F(x)=g(x)-2-ax=ex+sinx+cosx-2-ax.

故當a=2時,F(x)≥0.

綜上所述,可知a=2.

2.3 泰勒公式與近似估值

例3(2014年新課標Ⅱ卷)已知f(x)=ex-e-x-2x.

(1)設g(x)=f(2x)-4bf(x),當x>0時,g(x)>0,求b的最大值;

解：(1)由題意知g(x)=f(2x)-4bf(x)=(e2x-e-2x-4x)-4b(ex-e-x-2x).

所以b≤2.故b的最大值為2.

2.4 泰勒公式與極值界定

例4(2018年新課標Ⅲ卷)已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x,若x=0是f(x)的極大值點,求a的值.

解：(2)由泰勒公式,有

2.5 泰勒公式與放縮變形

例5(2020年高考全國Ⅰ卷)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解：當0

當a>1時,有

f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx≥1.

由泰勒公式,有

于是有ex≥1+x,把x換成x-1,得ex-1≥x.

于是有ln(1+x)≤x,把x換成x-1,得lnx≤x-1,即-lnx≥1-x.

所以,ex-1-lnx≥1,此式即當a=1時的情形.

綜上,a的取值范圍為[1,+∞).

2.6 泰勒公式與數列不等式

例6(2017年高考浙江卷)已知數列{xn}滿足：x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1),n∈N*.證明：當n∈N*,

(1)0

證明：第(1)問略.

(3)由泰勒公式,有ln(1+x)≤x(x>0).

泰勒公式在高考試題中的美妙身姿何止這些,限于篇幅,在此就不再一一撰述.盡管高考試題的設計有來源于泰勒公式,但命題者提供的方法,最終還是要用中學所學的導數知識來解決,但是如果利用泰勒公式來思考,則解題思維會更加流暢,更容易接近問題的本質[1].

泰勒公式是高等數學的知識,直接應用恐有失分,但如果知道常見函數的泰勒公式,我們就很容易發現試題的背景,應用初等數學方法解決即可[2].學習高中數學適當掌握一點高等數學知識,對于學生來說不僅僅是一舉多得的好事,更可以直達“會當臨絕頂,一覽眾山小”的解題仙境!