思維導圖在整體性教學中的應用實踐

? 江蘇省靖江市第一高級中學 聞 君

數學是一門邏輯性較強的學科,但受學生認知水平、思維能力等因素的影響,這些邏輯連貫的數學知識可能分散于不同的章節中,因此數學教學要注重整體性.在日常教學中,教師應從整體視角出發,有意識地引導學生將相似或相關的知識聯系起來,構建前后一致、邏輯連貫的知識體系,提高靈活應用知識解決問題的能力.如何開展整體性教學一直是高中數學教學的重要課題.筆者認為,在課堂教學中融入思維導圖,有利于整體性教學的開展.筆者以“數列的前n項和”為例,談談具體的心得體會,請指正.

1 教學實錄

1.1 巧借思維導圖,促進知識整體把握

師：回顧數列相關知識,對于數列我們經歷了怎樣的學習歷程?

生1：從一般數列出發,到等差數列、等比數列,再回到一般數列.

師：很好,這里面蘊含了一般與特殊的數學思想方法.我們可以從哪幾個角度研究一般數列呢?

生2：數列的通項及其前n項和.

師：對于通項,是如何研究的?(學生一時不知如何回答.)

師：結合實例想一想,我們是如何研究數列通項問題的?(教師用PPT給出數列讓學生觀察、思考.)

(1)已知a1=2,an+1-an=2n+1(n∈N*),求數列{an}的通項公式.

(2)已知{an}滿足a1=1,an+1=2an+1,求這個數列的通項公式an.

學生獨立求解,教師展示學生的解題過程(略).

師：對于問題(1),你是如何想到用累加法求解的呢?

生3：發現該遞推關系與等差數列的定義類似,所以解題時聯想到等差數列通項的推導方法,利用累加法得到了答案.

師：很好.對于問題(2),你們有什么想說的嗎?

生4：將遞推關系變形得an+1+1=2(an+1),又an+1=2≠0,所以問題可以轉化為等比數列{an+1}的通項問題.

師：很好.結合已有經驗和具體實例說說,求一般數列通項的核心思想是什么?

生5：在求一般數列的通項時,或類比等差、等比數列通項的推導方法,或將其轉化為等差、等比數列.

學生回答問題后,教師帶領學生進一步回顧研究一般數列的基本內容和基本思想方法,然后給出如圖1所示的思維導圖.

圖1

師：總結得非常好!對于一般數列的通項,我們可以用“類比”與“轉化”的思想來研究,那么對于一般數列的前n項和,是否也能用這兩種思想來研究呢?

1.2 巧借思維導圖,提高學生實踐能力

師：為了檢驗“類比”與“轉化”是否通用,我們看一個具體實例.(教師用PPT出示例題.)

問題給出后,教師讓學生獨立求解,教師巡視,很多學生無從下手.

師：數列的通項是什么?

師：該數列通項有何特征?

生6：它是等差數列通項與等比數列通項之積.

師：結合這一發現,你有什么想法?

生7：感覺也可以像研究一般數列的通項一樣,借助研究等差、等比數列前n項和的方法來研究它.

師：不錯的思路,大家試一試,看看有什么發現.

(教師繼續讓學生獨立思考.)

生8：直接轉化是不行的,因為例1的通項無法轉化為等差、等比數列的通項.

生9：我從類比的角度出發,先與等差數列相類比,發現應用倒序相加法不能解決問題,其他方法還沒有來得及嘗試.

師：分析得非常有道理.大家不妨用錯位相減法試一試,看看你有什么發現?

在教師的啟發和指導下,學生利用錯位相減法得到該數列的前n項和.教師投影展示生10的解答過程：

師：根據這一發現,你能得到一般結論嗎?

生11：若一般數列的通項形如anbn,其中{an}是等差數列,{bn}是等比數列,則求一般數列的前n項和時,可以使用錯位相減法.

師：很好,這樣通過與等比數列求和相類比,得到了這個一般數列的求和方法.

師：若通項是等差數列與等比數列對應項和的形式,則只需分別計算等差、等比數列的前n項和,然后將二者相加得到結果,我們稱該方法為分組求和法.

這樣從學生已有經驗出發,學生理解并掌握一般數列求和的方法后,教師提供時間讓學生反思回顧,并通過師生互動交流得到如圖2所示的思維導圖,以此借助思維導圖加深對基本思想方法的理解,增強學生解題信心.

圖2

1.3 巧借思維導圖,培養學生整體意識

師：本節課我們主要研究了哪些內容?你有哪些收獲?請用思維導圖歸納總結相關內容.

教師預留時間讓學生反思回顧,然后嘗試利用思維導圖進行歸納總結,學生得到草圖后,教師鼓勵學生進行組內交流,以此通過生生合作逐步完善個體的認知結構.教師展示各組的交流結果后,又對其作進一步優化,從而得到如圖3所示的思維導圖.

2 教后反思

周知,數學知識之間存在著千絲萬縷的聯系,若教學中不能通過有效的方式將這些知識聯系起來,那么將很容易出現遺忘的情況.這樣學生在面對一些綜合性的題目時往往會感覺無從下手,直接影響解題效果.思維導圖在整合知識、幫助記憶、發散思維等方面發揮著重要作用,因此教學中應充分發揮思維導圖的優勢,將知識、思想方法等有效地聯系起來,讓學生逐步形成整體觀,提高學習效率.

在本課教學中,教師從學生已經掌握的一般數列的通項入手,通過問題的解決引導學生提煉轉化和類比思想方法.在此基礎上,教師巧妙地設計問題,引導學生將研究一般數列通項的思想方法遷移至一般數列求和的推導中,實現由等差、等比數列求和到一般數列求和的推廣,充分展示各知識點之間的聯系,逐步培養學生整體意識.另外,在各個教學環節中,教師引導學生用思維導圖進行歸納總結,幫助學生生成數列的知識體系.相信在思維導圖的指引下,學生在研究一般數列的問題時,可以快速找到思考方向,形成解題策略,提升解題信心.

總之,在整體性教學中,教師要適時地引入思維導圖,有意識地指導學生利用思維導圖將相關的知識聯系起來,幫助學生更好地理解知識,形成完善的知識體系,提高分析問題和解決問題的能力.