課例：函數的奇偶性

? 廣東省東莞市第一中學 陳 鑫

? 廣東省東莞市第六高級中學 湯高敏

1 教學內容分析

“函數的奇偶性”是人教A版數學必修第一冊第三章第二節的內容.一方面,函數的奇偶性是繼函數的單調性后的又一重要性質,它延續了研究函數單調性的方法;另一方面,它也為后續研究函數的周期性以及冪函數、三角函數等奠定基礎.

1.1 教學目標

(1)經歷函數奇偶性的探究過程,進一步體會研究函數性質的一般方法;

(2)通過對具體函數奇偶性的探究,會用符號語言刻畫函數圖象關于y軸或原點對稱,了解函數奇偶性的概念和幾何意義,體會奇偶函數命名的由來;

(3)會利用函數奇偶性的定義和函數圖象特征判斷具體函數的奇偶性;

(4)在函數奇偶性概念的形成過程中感受數形結合、從特殊到一般的數學思想.

1.2 教學重點與難點

教學重點：函數奇偶性的概念和幾何意義.

教學難點：從具體函數的圖象特征到數量刻畫,再進一步抽象出符號語言的過程.

2 教學過程

2.1 情境引入

師：我們是如何研究函數的單調性和最值的?

生1：具體函數—圖象特征—數量刻畫—符號語言—抽象定義.

師：下面我們將繼續采用這種研究方法研究函數的其他性質.

設計意圖：復習研究函數性質的一般思路、方法,為接下來研究函數的奇偶性做準備.

2.2 新知探究

師：請同學們畫出函數f(x)=x2和g(x)=2-|x|的圖象,并觀察這兩個函數圖象有什么共同特征?

生2：如圖1,這兩個函數的圖象都關于y軸對稱.

圖1

設計意圖：引導學生發現偶函數的圖象特征.

師：我們以f(x)=x2為例,探究如何從數的角度刻畫其圖象關于y軸對稱.

師：由于圖象本質上是由點所構成的集合,我們不妨取一些特殊點來觀察.

師：觀察表1數據,同學們能發現什么?

表1

生3：f(-3)=9=f(3);f(-2)=4=f(2);f(-1)=1=f(1).當自變量取一對相反數時,對應的函數值相等.

師：這個規律是否具有一般性?我們借助信息技術來看一看(利用GGB演示：在f(x)=x2圖象上任取兩點,當這兩點橫坐標互為相反數時,縱坐標相同).

師：也就是說,“圖象關于y軸對稱”等價于“自變量互為相反數時,函數值相等”.

設計意圖：由“形”到“數”,得到函數圖象關于y軸對稱的數量刻畫.

師：那現在我們就得到了函數f(x)=x2的圖象關于y軸對稱的數量刻畫.進一步地,如何用符號語言來描述呢?

生4：?x∈R,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x).

設計意圖：讓學生自然地得到“函數f(x)=x2圖象關于y軸對稱”的符號語言表征,并在過程中體會“?”符號的由來,發展學生邏輯推理核心素養.

師：請同學們仿照上述表達方式,用符號語言描述g(x)=2-|x|的圖象關于y軸對稱.

生5：?x∈R,都有g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x).

設計意圖：借助實例讓學生進一步熟悉函數圖象關于y軸對稱的符號語言表征,并為后續抽象出偶函數的符號語言表征做準備.

師：如何用符號語言描述函數y=f(x),x∈I的圖象關于y軸對稱?

生6：?x∈I,都有f(-x)=f(x).

設計意圖：從具體函數到一般函數,體現了從特殊到一般的思想,發展學生的抽象概括能力及數學抽象核心素養.

師：如果一個函數的圖象關于y軸對稱,那它的定義域有什么特點?

生7：定義域關于原點對稱.

師：鑒于定義域對函數奇偶性判斷的重要性,我們將上述所得的符號語言作進一步補充,即?x∈I,-x∈I,且f(x)=f(-x).一般地,我們把滿足這一條件的函數叫做偶函數.

設計意圖：讓學生發現定義域對函數奇偶性判斷的重要性,并在定義中將定義域關于原點對稱這一條件顯性化.

師：接下來請通過小組合作,探究以下問題.

(2)如何用符號語言準確描述這一共同特征?

(3)如何用符號語言準確描述函數y=f(x),x∈I的圖象關于坐標原點對稱?

生8：(1)……;(2)……;(3)?x∈I,-x∈I,且f(-x)=-f(x).

師：類似地,我們把滿足這樣條件的函數叫做奇函數.

設計意圖：放手讓學生通過類比的方式研究奇函數,不僅能促進數學知識、方法的有效遷移,還能加深學生對奇偶性概念的理解.

師：在前面的學習中,我們定義了兩類新的函數,分別是偶函數和奇函數.那同學們知道為什么要這樣命名嗎?

師：我們不妨來分別觀察兩組函數y=x2,y=x4,y=x6與y=x,y=x3,y=x5的圖象,說說它們分別具有怎樣的對稱性?(用幾何畫板呈現圖象.)

生9：y=x,y=x3,y=x5的圖象關于坐標原點對稱,y=x2,y=x4,y=x6的圖象關于y軸對稱.

師：請同學們再觀察一下,上述函數中,圖象關于y軸對稱的函數的自變量的次數有什么特點?關于坐標原點對稱的呢?

生10：上述函數中,圖象關于y軸對稱的函數的自變量的次數都為偶數,圖象關于原點對稱的函數的自變量的次數都為奇數.

師：同學們得到了一個偉大的發現!實際上,著名數學家歐拉正是由此首次提出了奇、偶函數的概念.后來隨著數學的發展,奇、偶函數又進一步得到了推廣,形成了如今的奇、偶函數概念.

設計意圖：借助部分正整數次冪的冪函數圖象,讓學生發現其共同特征——對稱性,并通過追問發現規律,從而引出奇、偶函數的概念,讓學生經歷奇函數、偶函數概念的產生過程,了解命名的由來,獲得良好的數學體驗.此外,通過穿插數學史,學生能體會其中所蘊含的數學文化,提高數學學習的興趣.

2.3 數學運用

練習1判斷下列函數的奇偶性：

設計意圖：再一次體會定義域對函數奇偶性判斷的重要性,掌握用定義判斷函數奇偶性的一般步驟.

練習2(1)判斷函數f(x)=x3+x的奇偶性.

(2)圖2是函數f(x)=x3+x圖象的一部分,你能根據它的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎?

圖2

(3)一般地,若y=f(x)為奇(偶)函數,如何簡化對它的研究?

設計意圖：進一步讓學生鞏固利用定義判斷函數奇偶性的方法,學會根據奇函數、偶函數圖象的對稱性解決問題,體會奇偶性的作用——簡化對函數的研究.

練習3已知f(x)是R上的奇函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)=x(1+x),求f(x)的解析式.

設計意圖：讓學生學會利用奇偶性求函數的解析式.

2.4 回顧小結

(1)我們是如何開展對函數奇偶性的研究的?

(2)完成表2：

表2

(3)如何用定義判斷函數的奇偶性?

設計意圖：通過(1),進一步深化對研究函數性質的一般方法的認識,提升研究性思維.通過(2),加深對奇、偶函數概念和幾何意義的理解.通過(3),進一步掌握用定義判斷函數奇偶性的一般方法、步驟.