“概率統計”的復習備考建議

? 廣東省河源市東源縣廣州大學附屬東江中學 張 雷

概率統計(含計數原理、排列組合與二項式定理等)模塊知識是新高考數學試卷中的一個重要考查知識點,往往以“一大一小”(一個解答題,一個選擇題或填空題)的形式來全面考查.此模塊知識重在培養學生的閱讀理解能力、理性數學思維方式以及解決問題的基本能力等.

在高中數學課程體系中,概率統計模塊知識貫穿于必修、選擇性必修課程之中,成為高中數學中的一個重要主題,也是全面培養與提升學生數學學科核心素養、發展創新意識與應用意識等方面的重要媒介之一.

特別地,在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下,隨著課程改革的不斷深入,高考命題的創新引領,概率統計模塊知識必將成為高考數學試卷中的核心知識和熱點考點之一.鑒于此,結合概率統計模塊自身的特點,高三復習備考中可以從以下一些細節與注意點入手,拋磚引玉,強化復習,提升能力.

1 重視數學閱讀能力與理解能力的培養

概率統計模塊知識的考查成為新高考創新命題的一個亮點,特別是涉及命題的“反套路”理念,以及學生“四能”的全面提升等方面的考查,成為高考命題中的一個新思路與新方式.

概率統計模塊知識的考查往往依托現實生活中的閱讀材料加以展開與考查,沒有“套路”可循,這就對復習備考提出更高的要求,要求更加重視材料的閱讀與理解能力,對于新的問題應用情境中的信息收集、信息加工與實際應用等提出更高的要求,要求教師要在平時的復習備考過程中,更加有針對性地進行這方面的訓練,提升閱讀理解能力等.

而對于很多學生得分情況不理想,甚至談起概率與統計解答題便產生恐懼心理,就需要更有針對性地進行數學閱讀理解能力的培養,借助應用場景與閱讀材料,增強材料的信息加工,文字語言與符號語言的相互轉化等方面的能力.

例1位于成都市龍泉驛區的東安湖體育公園是第31屆世界大學生夏季運動會的核心場館,它包含一座綜合運動場、一座多功能體育館、一座游泳跳水館和一座綜合小球館.現安排包含甲、乙在內的6名同學到這4個場館做志愿者,每人去1個場館,每個場館至少安排1個人,則甲、乙兩人安排在相同場館的方法種數為( ).

A.96 B.144 C.240 D.360

解析：首先將6名同學分成4組.一種方式是甲、乙組成一組,再從另外4人任選2人組成一組,其余的一人一組;另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組,其余的一人一組.然后再把4組人分到4個場館.

點評：此類涉及應用的計數問題,關鍵在于閱讀理解能力,根據志愿者活動安排,通過分組的分類討論,結合排列組合的相關知識進行簡單的計數與應用,進而確定相應的安排方法種數.

2 重視數學基本概念和基本公式的理解

在數學復習備考過程中,對于概率統計模塊知識,要更加重視對數學教材的回歸與使用,真正起到數學教材的引領與指向功能.

在回歸教材與應用教材過程中,結合概率統計模塊知識的基本特點,要特別重視概率與統計中相關的基本概念的理解,以及一些相關基本公式的理解與掌握,把握解題的“通性通法”.特別要注意新教材中涉及全概率公式的應用等,并能熟練利用基本概念與基本公式來解決一些相關的應用問題,體現概念與公式的充分理解與把握等.

又利用對立事件的概率公式,可得

點評：該綜合應用問題以概率為問題場景,通過條件概率以及遞推關系式的合理交匯與綜合,綜合對立事件的概率公式以及全概率公式等來綜合與應用,實現問題的巧妙分析與解決.特別要注意的是,合理利用事件概率之間的遞推關系式,要注意后繼事件的概率往往受前一個事件的概率的影響,需要逐一分析與求解,這對應用問題具有現實意義與規律.

3 重視數學思想方法與技巧策略的提煉

概率統計模塊知識也離不開數學基本思想方法與技巧策略,成為聚焦數學核心素養,以及提升數學關鍵能力的一個重要場景.特別是以實際應用題為場景的概率統計問題,更是突出數學核心素養與關鍵能力的一個基本場所.

基于此,在復習備考過程中,要全面把握數學基本思想方法的引領,指向數學基本技巧策略應用.要將數學的思想方法與技巧策略等貫穿在復習備考與數學解題過程中去,使得復習備考過程更加全面體現數學經驗積累和數學思想升華.

例3為調查中某校學生每天學習的時間,采用樣本比例分配的分層隨機抽樣,現抽取高一學生400人,每天學習時間均值為8小時,方差為0.5,抽取高二學生600人,每天學習時間均值為9小時,方差為0.8,抽取高三學生1 000人,每天學習時間均值為10小時,方差為1,則估計該校學生每天學習時間的方差為( ).

A.1.25 B.1.35 C.1.45 D.1.55

結合分層隨機抽樣的樣本方差公式,可得到s2=0.2×[0.5+(8-9.3)2]+0.3×[0.8+(9-9.3)2]+0.5×[1+(10-9.3)2]=1.45.

故選：C.

點評：在解決一些復雜的分層隨機抽樣問題時,首先要準確確定分層隨機抽樣的層數,以及確定與之相關的基本概念(樣本總數、各層的樣本數或頻率等),進而熟練利用分層隨機抽樣的樣本平均值、樣本方差公式加以推理與運算,并結合實際問題的應用場景與現實實際來合理判斷與決策等.

4 重視數學知識內涵與解題過程的規范

概率統計模塊知識的應用,是閱讀材料與數學知識之間的聯系與轉化,也是對材料信息的再認識與再加工.在實際解決問題時,需要將對應的應用情境問題加以合理抽象,巧妙建模,利用數據分析與信息加工,并結合數學運算與邏輯推理等來分析與解決問題.

基于此,在復習備考過程中,需要重視數學知識內涵的提煉,重視數學解題過程的規范、解題格式的訓練,特別對于數學符號的使用要規范準確,語言表達精煉準確,邏輯推理嚴謹,數學運算正確.

5 重視未涉及知識的教學復習

近兩三年來高考沒有考到的內容：正態分布、一元線性回歸模型等相關問題.隨著“教學評一體化”及人才選擇培養體系的變革,這一部分內容將會成為來年高考的考點,需要教師與學生務必做好這些知識點的教學與復習,使得復習更加系統,更加全面,更加到位.

近年高考中,概率統計模塊知識的考查更加吻合《普通高中數學課程標準(2022修訂)》,突出該模塊中的基本概念、主干知識以及基本數學方法與技巧策略等方面的考查等,吻合教材的內容比例,全面考查知識的應用等,特別在通性通法的基礎上,進行適度的綜合與創新.