邁向深度學習,優化復習效益*
——核心素養下高考復習“一題多解”策略探微

? 河南省汝州市實驗中學 遼寧師范大學教育學院 胡正波

“一題多解”是高中數學課堂教學與學習中比較常用的一種基本手段,更是高考復習中非常有效的一種教學方式.借助“一題多解”,可以有效引領復習,夯實“四基”,進而全面克服學生解題中的思維定勢,有效發散數學的靈動思維,培養學生思維的靈活性與創新性,這對復習備考是非常有益的.而借助“一題多解”,能更加充分體現學生對整體知識的理解掌握情況,以及更加靈活的應用能力,也能更加有效地提升學生的“四能”,達到高效復習的最佳效益.

1 梳理整合知識,構建知識體系

借助“一題多解”策略進行高考復習與教學分析,往往可以將不同知識體系中的知識點加以合理整合,構建不同知識點之間的聯系,使知識點之間“點連成線、織成面、構成體”,從而構建一個更加和諧、完整的數學知識網絡體系,對于知識的全面理解與掌握,以及知識的靈活應用更加有效,從而提升數學關鍵能力.

(2)若b=4,求△ABC面積的最大值．

結合同角三角函數基本關系式,有

解法2(坐標法)：以AC所在直線為x軸,AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系xOy,則A(-2,0),C(2,0).

(x-4)2+y2=12(y≠0).

感悟反思：在同一數學問題中滲透多個知識點是高考命題的基本指導思想,而解題時利用不同的知識點來求解,也是必然所在．解法1中通過二次函數知識來處理,解法2中通過解析幾何中的坐標知識來處理,利用各自不同的數學知識點加以切入與應用,優化解題過程,合理梳理并整合數學知識,提高課堂效益．

2 發散數學思維,培養創新意識

借助“一題多解”策略進行高考復習與教學分析,可開闊學生的眼界,形成知識的融會貫通,培養學生良好的思維品質,特別對于數學思維的變通性、靈活性、多樣性與創新性等可以起到非常好的拓寬與應用效果,真正培育學生的創新意識與創新應用．

例2〔福建省泉州市2023屆高中畢業班質量監測(三)數學試卷·8〕已知向量a,b,c中,|a|=1,且滿足b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).

解法1：幾何意義法.

依題意并結合向量數量積的幾何意義,有AB⊥OA,DC⊥DO,OB⊥OC,如圖1所示.

圖1

圖1

解法2：坐標法.

在平面直角坐標系xOy中,設向量a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),如圖2所示,

因為a·b=1,a·c=-1,b·c=0,所以x1=1,x2=-1,x1x2+y1y2=0,即y1y2=1.

感悟反思：波利亞曾說過,掌握數學就是意味著善于解題．抓住問題的內涵與實質,從不同數學思維視角來切入與展開,是“一題多解”策略與應用的關鍵．解法1從幾何思維切入,回歸平面向量“形”的幾何特征,從數形結合視角進行直觀想象,解決起來更加直觀簡捷;解法2從代數思維切入,根據平面向量的“數”的結構屬性,通過平面直角坐標系的構建,合理引入平面向量的坐標,利用平面向量中的相關要素,轉化為涉及坐標的函數、方程或不等式等,進而從代數視角來數學運算與邏輯推理．

3 提升變形能力,培育邏輯推理

借助“一題多解”策略進行高考復習與教學分析,關注對問題的深入挖掘、深度學習與研究,對數學變形能力和推理有著較高的要求,結合不同的變形方向與縱深思維,展開不同的邏輯推理與解題應用,這對于邏輯推理素養的形成是非常有效的,也對推理能力的提升有很大的幫助.

例3(2023屆江蘇省蘇錫常鎮四市高三教學情況調研數學試卷·8)在數列{an}中,a1=1,其前n項和為Sn,若對任意正整數n,有Sn+1=-3an+1+an+3,且滿足Sn+an>(-1)na,則實數a的取值范圍是( ).

解法1：整體構建法.

令bn=Sn+an,則bn+1=Sn+1+an+1.由Sn+1=-3an+1+an+3,可得Sn+1=-2an+1-(Sn+1-Sn)+an+3,即2(Sn+1+an+1)=(Sn+an)+3,所以2bn+1=bn+3,即2(bn+1-3)=bn-3.

解法2：分層構建法(這里從略,可掃碼閱讀)

感悟反思：根據數列的遞推關系式來分析,利用對應數列的構建來求解相應的數列通項公式是解決問題的關鍵,也是最重要的一個環節．解法1利用整體構建相關的數列來變形,解法2利用分層構建相關的數列來變形,進而利用對應數列的轉化來分析與解決問題．在處理數列相關問題中,要挖掘問題本質,根據題設條件或所求結論加以合理變形與轉化,通過概念、性質、公式等的應用,優化解題,提升效益．

其實,借助“一題多解”合理引領并指導高考數學復習以及針對性的復習備考,對教師自身的能力與水平提出了更高的要求,需要教師進行集體備課,整合團隊的力量,更加有效地研究教材、考綱、考題等,進而有針對性地制定更加行之有效的教學目標,合理精選精編教學中的素材與典例,多學習、多思考、多研究、多探尋,平時要勤于實踐和反思,在深度理解與深度學習的基礎上開展教學與復習;同時要注意教師之間、備課組等的協同合作．