借助思維導圖將思維“可視化”,探尋解題軌跡

? 四川成都七中 楊 東 陳 霞 鄒蘊博 陳洲健

用思維導圖將思維過程可視化,可以更好地幫助我們尋找解題突破口,也能夠更好地梳理問題解決的內置思路.這里,筆者以2023年全國甲卷第21題為例,呈現如何借助思維導圖來更好地探索問題的解決.

(1)當a=8時,討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)

1 第(1)問解法分析

圖1

上述兩種方法的核心其實都是將三角函數化為同名,然后進行換元處理(解答中鑒于篇幅所限,省略了換元的過程).兩種處理方式都是抓住sinx,cosx和tanx之間的關系來化簡.其中,對于將cosx化為tanx的方式看起來似乎平時很少用到,但是稍后我們會看到,在第(2)問的一些分析中,這種化簡途徑也是非常有啟發意義的.

借助思維導圖,我們可以看到這個題目的思維過程是線性結構的,算是一個比較常規的基本形式.但是在每一個步驟上,特別是在結構分析過程中,思維導圖會讓我們將注意力集中在當下需要處理的問題和結構形式上,從而聯想到可以借助三角變形來解決繁瑣式子的變形.這種“思維可視化”過程可以讓我們更清晰地感受到如何一步一步想到解決問題的思路,也為我們解決數學問題提供了經驗的歸納.

2 第(2)問解法分析

2.1 探索a的范圍分析

首先辨別清楚這個問題的類型：恒成立求參數取值范圍.因此,這里可以激活相應的方法：直接求導討論;參變分離;必要性策略探路.這幾種方法都涉及將思維過程主要分解為兩個部分：即找到a的臨界值;證明這個……