怎樣擺放牛奶盒，才能使包裝材料最省

例題：這兒有12盒牛奶，怎樣包裝最節省材料呢？

剛拿到這道題，有些同學可能會不知道怎么下手-12盒牛奶，數量可不少。當情況比較復雜時，我們不妨先思考簡單一些的情況，如2盒牛奶怎樣擺放，包裝時最節省材料。

一、初步探究，包裝2盒牛奶

牛奶的包裝盒是長方體形狀的，根據長方體的特征，相對的面完全相同，因此2盒牛奶的擺法有下面這樣三種情況（如圖1）。

如果要把2盒牛奶打包，包裝就是要包它的表面，那么包裝盒的面積至少等于要包的立體圖形的表面積。通過測量和計算，可以得到下面這張表：

通過計算，可以發現，不同的擺放方式中，②號擺放包裝的方式需要的包裝材料最少。那么，相同的2盒牛奶，為什么擺放之后表面積不相同呢（7通過觀察發現，拼擺牛奶盒的時候，重疊面的面積是不一樣大的。

我們還可以這樣計算：

拼擺之前，2盒牛奶的表面積和：（5×4+5×13+4×13）×2×2=274×2=548cm²。

①少了2個右（左）面（中面）：548 - 4×13×2=444cm²。

②少了2個前（后）面（大面）：548 - 5×13×2=418cm²。

③少了2個上（下）面（小面）：548 - 5×4×2=508cm²。

由此，我們可以發現，重疊面的面積越小，包裝的表面積就越大；反之，重疊面的面積越大，那么包裝的表面積就越小。

通過動手拼擺、計算，再結合實際情況，我們總結出下面這張表格：

至此，我們發現了這樣一個規律：當牛奶的盒數為大于等于4的偶數時，最多減少的面積為130×（盒數-2）+104×（盒數÷2）。

但是這僅僅是猜想，我們還需要進一步的驗證。

三、深度思考，包裝10、12盒牛奶

（一）包裝10盒牛奶

根據上面的猜想，10盒牛奶最多能減少的面積應該為130×8+104×5。也就是說，大面要拼接8次，中面要拼接5次。我們再動手擺一擺，驗證一下（如圖3）。

無論是上面哪種情況，都是大面拼接8次，中面拼接了5次。符合猜想！

（二）包裝12盒牛奶

根據猜想，12盒牛奶最多能減少的面積應該為130×10+104×6。也就是說，大面要拼接10次，中面要拼接6次。我們再動手擺一擺，驗證一下（如圖4）。

但是，12盒牛奶還可以如圖5、圖6這樣擺放。圖5大面拼接9次，中面拼接8次，拼接減少面積是130×9+104×8；圖6大面拼接8次，中面拼接9次，減少面積是130×8+104×9。

通過計算比較可以發現，圖5擺放是最佳方案，那么之前的規律不成立。

四、換個角度，探究規律

研究似乎遇到了瓶頸，我們不妨換個角度，重新整理思緒，把這些牛奶的最優擺法進行比對（如圖7）。

這些盒數的牛奶擺成大長方體的話，以大面優先重疊在一起為原則，都能擺出至少兩種形狀的大長方體。而在這些大長方體中，橫排和豎排的包數越接近，也就是讓這個長方體的底面越接近正方形，所需包裝紙的面積就越少。

五、融會貫通，感悟規律

仔細體會剛剛所發現的規律，是不是與“用12張邊長1厘米的正方形紙片拼成長方形，怎樣拼周長最短”的問題類似？

把一定數量的正方形紙片拼成長方形，所拼成的長方形的長和寬越接近，越接近正方形，那么它的周長就越短。

在立體圖形的拼擺中，為什么也有這樣的規律呢？

我們知道，長方體的表面積除了可以用6個面的面積和來計算，還可以通過側面積加2個底面積來計算，而側面積=底面周長×高。所以，包裝盒的表面積=底而周長×高+底而積×2。

通過擺放，我們可以發現，要盡可能地拼接大面和中面，因此最優方案都是擺一層，那么高就確定了，就是13cm。當牛奶的盒數確定，擺了一層，那么底面積就確定了，就是]盒牛奶的底面積×盒數。

那么圖形的表面積就與底面周長有關：底面周長越長，圖形的表面積越大；底面周長越短，圖形的表面積就越小。圖形的表面積越小，那么就轉化成底面的周長越短越好。而拼成的圖形底面長和寬越接近，形狀越接近正方形，那么圖形的周長就越短。這樣側面積才越小，拼好后的圖形表面積才越小。

總結規律：只要把牛奶的底面擺成長和寬越接近的長方體，擺好后，這個長方體或近似長方體的表面積就越小，那么所需包裝材料就越少。

六、生活應用，體會價值

在生活中，包裝24瓶牛奶，24罐圓柱形飲料，商家通常采用4×6的擺法；包裝15瓶飲料時，通常是按3x5來擺放的；包裝12瓶飲料的時候，通常是按3x4來擺放的……

回到一開始12盒牛奶的包裝（見圖8），雖然是按3×4擺放的，但底面的長方形長5×4=20cm，寬4×3=12cm；而最優擺法（見圖9），長5×3=15cm，寬4×4=16cm，此時底面長和寬更接近。所以可以建議商家用最優擺法擺放牛奶，可以節省包裝的成本。

但是商家為什么沒有按最優擺法排列呢？我們再觀察觀察，比較比較——同樣12盒牛奶，右邊這樣擺放看起來的感覺是不是比左邊要少一些？原來商家不是不知道最優擺法的原理，而是充分利用了視覺效果，抓住了消費者的心理l所以商品包裝不僅僅要從節省包裝成本的角度來設計，還要綜合考慮多種因素。看來，小包裝里藏著大學問呢！

活學活用

①包裝16盒牛奶（與例題牛奶相同），至少需要多少包裝紙？

②包裝24盒牛奶（與例題牛奶相同），至少需要多少包裝紙？