關于新中考背景下學生發展代數推理能力的幾點思考*

廣東省東莞市松山湖北區學校(523808) 張海營

隨著中考制度改革,廣東省中考全省統一命題呼聲越來越高.2023 年3 月8 日,廣東省教育廳發布了《關于公開征求深化高中階段學校考試招生制度改革實施意見》的公告,擬從2024 年起初中學業水平數學考試將由省級統一命題,筆者結合20 余年一線教學工作經驗,就廣州、深圳中考自主命題和省卷作對比研究, 發現代數推理在試題中占較大比重,如2021 年廣東省中考第25 題、2023 年廣州市中考第24 題、2023 年重慶市中考第18 題等,此類代數推理題型蘊含演繹推理、情境推理、歸納推理和條件推理等思想方法,極可能成為下一階段廣東省統一試卷命題的熱點方向.

推理是數學的基本思維方式,也是人們學習和生活中經常使用的思維方式.代數推理題是以代數知識為主或以代數變形技巧為主的一類數學問題,推理過程是從條件出發,由代數定義、代數公式、運算法則和運算律得到結論(特定的目標結構或關系)的一種變形和轉化[2].

1 演繹推理題

推理既包括合情推理,也包括演繹推理,因此特殊化和一般化也應成為代數推理的一項基本技能.演繹推理則是從已有的事實(包括定義、公理、定理等)出發,按照規定的法則(包括邏輯和運算)證明結論,這種推理嚴密到滴水不漏,演繹推理要求盡量還是循序漸進,中考考查及評卷嚴謹,歷年考查主要突出推理能力及運算能力[3].

2 情境推理題

情境推理題解題時,往往會從題干信息中找到答案,合理篩選出有效信息,排出干擾信息,挖掘潛在信息進行類比遷移.2023 年各省市數學中考特別突出對新情境下數學知識的考查,突出“無情境、不命題”的命題思路,引導一線教師從具體情境中抽象出數學符號的過程及用代數式進行表述的方法例,逐漸形成推理能力,培養學生的科學精神.

例2.1 (2023 重慶市中考第18 題)對于一個四位自然數M,若它的千位數比個位數多6,百位數比十位數多2,則稱M為“天真數”,如: 四位數7311,∵7-1 = 6,3-1 = 2,∴7311 是“天真數”; 一個“天真數”M的千位數為a, 百位數為b,十位數為c,個位數為d,記P(M) = 2(a+b)+c+d,Q(M)=a-5,若能被10 整除,則滿足條件M的最大值為.

3 歸納推理題

3.1 等差規律

例3.1.1 (2019 年廣東省中考第16 題) 如圖1 所示的圖形是一個軸對稱圖形,且每個角都是直角,長度如圖所示,小明按圖2 所示方法玩拼圖游戲,兩兩相扣,相互間不留空隙, 那么小明用9 個這樣的圖形拼出來的圖形的總長度是____(結果用含a、b代數式表示).

圖1

圖2

解析 由題意,第1 個圖形的總長是a+0·b=a;第2 個圖形是a+1·b=a+b;第3 個個圖形是a+2·b=a+2b;第4 個圖形是a+3·b=a+3b;第5 個圖形是a+4·b=a+4b;……因此圖形變化規律是a+(n-1)b;故第9 個圖形拼出來的總長度為:a+(9-1)b=a+8b.

點評 數列問題是高中學習重點內容,也是初高中知識銜接的橋梁.本題屬于簡單常規題型,通過基本數字變化規律可得到答案.通過對一些基礎的知識點或數學概念進行變形,給學生以一定規律排列的數,但其中至少缺少一項或是給幾個圖形規律最后轉化待到數字規律,要求學生仔細觀察規律,主要考查同學們的抽象思維和邏輯推理的能力.

3.2 等比規律

例3.2.1 (2016 廣東省中考第21 題)如圖3,Rt?ABC中,∠B= 30°,∠ACB= 90°,CD⊥AB交AB于D,以CD為較短的直角邊向?CDB的 同 側 作Rt?DEC, 滿 足∠E= 30°,∠DCE= 90°,再用同樣的方法作Rt?FGC,∠FCG= 90°, 繼續用同樣的方法作Rt?HCI, ∠HCI=90°,若AC=a,求CI的長.

圖3

圖4

點評 該類題型在近幾年中考經常出現,如2018 年廣東省中考第16 題反比例函數與等邊三角形規律問題,此類題型重在發展學生的符號意識,理解、運用符號表示數、數量關系和變化規律,使用符號可以進行運算和推理,得到的結論具有一般性.

4 條件推理題

條件推理題就是將題目中給出的已知條件進行一些變形,挖掘題干中隱含的條件,從而為成功解題做好準備.此類題型中題干所給的條件一般都比較簡單,因此如何能夠從中發現有用的條件就是解題的關鍵,特別是隱性條件推理題型是近年中考的重要考查方向[4].

4.1 隱性條件推理題

例4.1.1 (2020 年廣東省中考第17 題) 有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑, 一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠, 等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點, 模型如圖,∠ABC= 90°,點M,N分別在射線BA,BC上,MN長度始終保持不變,MN= 4,E為MN的中點, 點D到BA,BC的距離分別為4 和2.在此滑動過程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為____.

點評 隱性條件的代數推理題是中考的難點, 和近年考查熱點“隱圓”能力要求類似, 要求學生構造解題模型,特別是2023 年廣東省中考第23 題體現更加明顯.此類題型解題關鍵在于梯子下滑過程中MN= 4 不變,即點E到點B距離保持不變,因此可確定點E在⊙B上運動,構造出“一箭穿心”模型,解決線段最值問題.

5 綜合推理題

5.1 純二次函數推理題

例5.1.1 (2023 廣州中考第24 題) 點P(m,n) 在函數的圖象上.

(1)若m=-2,求n的值;

(2)拋物線y=(x-m)(x-n)與x軸交于M,N(M在N的左邊),與y軸交于點G,記拋物線的頂點為E.

①m為何值時,點E到達最高處;

②設?GMN的外接圓圓心為C,圓C與y軸的另一個交點為F,當m+n ?=0 時,是否存在四邊形FGEC為平行四邊形? 若存在,求此時頂點E的坐標;如不存在,請說明理由.

解析 (1)n=-1;

(2) ①如圖5, 不妨設M(m,0),N(n,0), 其中m

圖5

點評 二次函數在初中數學課程占有重要比例,同時也是與高中數學知識銜接的重要部分.類似無圖二次函數壓軸題,在廣州、深圳等地較為流行,本題主要考查了二次函數的綜合應用,涉及到二次函數,考查了平行四邊形的存在性問題,分類討論是解題關鍵,體現新中考背景下數學抽象思維、代數推理能力的要求.

在初中數學人教版教材中, 代數推理貫穿始終,既存在于規律性問題的代數純理論證明, 也存在在幾何圖形特點的代數證明.近年來廣東省中考數學加強了對代數推理及相關知識點的考查,由于現在更加注重對初高中數學思維和解題方式的銜接,題型也更加創新和靈活,代數推理是一項需要長期培養的能力,需要教師在一線課堂教學中對學生持續引導和滲透.