一道解析幾何模擬題的命制過程與反思*

廣州市第四中學(510170) 劉運科

1 問題的來源

在“2023 年廣東省普通高中課程教學改革學科組長示范培訓”活動的一次講座上,華東師大鮑建生教授提到一個“騎自行車趣題”: 一輛自行車的前、后輪在一個橢圓上,當自行車沿橢圓騎行一周時,前后輪與地面接觸點的連線(假設(shè)長度為a)所掃過的面積是多少? 鮑建生教授對此問題的分析在此不表,筆者關(guān)注的是如何將此問題改編成高考模擬題.

2 利用GeoGebra 改編

這個問題的數(shù)學情境,是橢圓的定長的動弦掃過的面積.利用GeoGebra 作圖,可以發(fā)現(xiàn): 當弦長較小時,動弦掃過的圖形看上去像是一個橢圓環(huán)(下左圖);當弦長較大時,動弦掃過的圖形比較怪異(下右圖).如果直接考查動弦掃過的面積,顯然要求過高;可以降低要求,只考查動弦上的一個點(如,中點)的軌跡.由此,得到一個新的數(shù)學問題: 求橢圓的定長動弦的中點的軌跡.

3 加工

4 再加工

如果僅僅求軌跡,考查的內(nèi)容太少,對于能力弱的考生,又太難,對于能力強的考生,作為壓軸題難度又不夠,有必要前后各設(shè)計一個問題.為此,增加第一問: 已知橢圓的離心率為,短軸長為2,求橢圓的方程.最后一問考查什么好呢?筆者陷入了沉思.長度已經(jīng)考查了,可以考慮考查面積;但是,求得的曲線不是常見的曲線,高中生無法求出曲線圍成的面積.利用GeoGebra 作圖,觀察發(fā)現(xiàn)曲線恰在兩個圓的外部,就計出了第三問: 證明曲線圍成的面積大于(兩圓的面積之和恰為).完整試題如下:

例1 已知橢圓E的焦點在x軸上,離心率為,短軸長為2.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設(shè)AB是橢圓E的弦,且|AB| = 2,當AB在橢圓E上運動時,

(i)求AB的中點M的軌跡方程;

(ii)設(shè)點M的軌跡所圍成的封閉圖形的面積為S,證明:

5 制定前兩問答案

(i)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).

①當直線AB的斜率不存在時,注意到弦長恰等于短軸長,顯然點M的坐標為M(0,0).

綜上,點M的軌跡方程為x4+6x2y2+8y4-4y2=0.

6 研討曲線的特征

筆者把題目也同時發(fā)給了科組幾位青年教師,請大家做一做此題,再進行交流,經(jīng)過各自獨立研究30 分鐘后,大家紛紛發(fā)表看法.

老師A:如果不借助電腦軟件, 基本上不可能作出方程x4+6x2y2+8y4-4y2= 0 所表示的曲線, 更不可能求出其圍成的封閉圖形的面積.我一開始猜想圖形可能是橢圓,用GeoGebra 作圖后,發(fā)現(xiàn)圖形好像是兩個橢圓.學生想不出圖形,也不會橢圓的面積公式,這一問超出了高中的知識范圍.

7 研制第三問答案

8.試題評析與反思

根據(jù)課程標準的試題評價框架與水平劃分[1],本題的試題評析表如下:

考查目標________________________________問題情境知識技能數(shù)學思想核心素養(yǎng)__(Ⅰ)求橢圓的方程;離心率、短軸長、橢圓的方程-數(shù)學運算__(Ⅱ)(i)求定長動弦中點軌跡方程;中點、弦長;聯(lián)立韋達定理、參數(shù)法求軌跡方程;設(shè)參消參、代數(shù)運算特殊化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________方程思想直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理(ii)證明曲線圍成的面積大于π 4圓的方程、不等式;分析法、反證法;分析方程特征,猜想軌跡圖形;聯(lián)想圓的方程,合理轉(zhuǎn)化化歸特殊化思想、數(shù)形結(jié)合思想、________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________轉(zhuǎn)化與化歸思想直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理__

從問題情境來看,本題以“數(shù)學情境”為命題載體,有“源于現(xiàn)實,暗合課本”的特點.問題源于“現(xiàn)實情境”——騎自行車問題,改編后與教材遙相呼應(yīng): 求動點的軌跡方程是教材中很典型的問題;探究不熟悉的曲線的性質(zhì),教材也給出了一般研究策略.在人教A 版選擇性必修第一冊的“3.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)”[2]這一節(jié)中,教材指出,“通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論,可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置”.第三問的參考答案,正是按教材給出的研究策略得出的.

從考查目標來看, 本題前兩問主要考查了從代數(shù)角度研究幾何問題的基本方法——“坐標法”,這也是解析幾何的基本方法.本題第三問, 命題視角聚焦在方程、曲線、不等式等知識的交匯點上,需要通過“分析——猜想——聯(lián)想——轉(zhuǎn)化——反證”的策略來求解.本題考查了數(shù)形結(jié)合、特殊化、分類討論、方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想;考查了直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

反思:

(1)素養(yǎng)導向,技術(shù)助力,頗具新意.

本題形式常規(guī)而內(nèi)涵豐富,探究味道濃厚,體現(xiàn)了素養(yǎng)導向.本題文字平實,易于理解,前半部分考查了解析幾何的基本方法和思想,后半部分要經(jīng)歷層層遞進的探究,解法看似在意料之外,實則在情理之中,體現(xiàn)了素養(yǎng)導向的試題特點.另外,利用GeoGebra 動態(tài)演示問題,獲得猜想,從而命制出本題,GeoGebra 是一個重要的數(shù)學探究工具[3].

(2)難度偏大,未經(jīng)檢驗,有待打磨.

雖然本題是壓軸題,但難度偏大.主要是兩個方面較難:一是求軌跡方程的代數(shù)運算較為復(fù)雜,消參的難度較大;其次是第三問的思維過于跳躍、發(fā)散,證明方法單一,如果改為證明曲線的縱、橫坐標的取值范圍,則可以使得考查目標更為聚焦,方法也會更加多樣.另外,本題暫未在考試中使用,沒有通過實踐的檢驗,本題尚需進一步打磨完善.