立足基礎,重在運用,拓展思維,發展素養
——2023 年廣東省中考數學試卷評析與啟示

廣東省江門市新會尚雅學校(529100) 馮悅嬌

2023 年廣東省中考數學試卷(簡稱廣東卷)導向鮮明、梯度明顯、反套路化、區分度高,注重挖掘數學思維本質,考察數學核心素養的達成,具有明顯的選拔作用.試題保持了7: 2: 1 的難度結構,題目源于教材,高于教材,符合2022 版新課標立德樹人的理念,使得人人都能獲得良好的數學教育,不同的人在數學上得到不同的發展,同時更具有基礎性、文化性、應用性、探究性與選拔性,起到了較好的教學導向作用.

1 基本情況分析

1.1 結構分析

2023 年廣東卷有選擇題、填空題、解答題三種類型,全卷共23 題120 分,限時90 分鐘.其中選擇題有10 題30 分,填空題有5 題15 分,解答題有8 題75 分.從試卷分值分布(見表1)來看,重點考查“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”、“實踐與綜合運用”領域的核心知識點.

表1 2023 年廣東卷知識分值及權重

1.2 難度分析

廣東卷總體難度適中,客觀題與主觀題的難度分別都是層層遞進.簡單送分題主要考查考生的基礎知識和基本技能, 體現了義務教育數學課程的基礎性、普及性, 符合雙減的需求.如選擇題第1～9 題,填空題第11～14 題,解答題第16～21 題.中檔綜合探究題考查考生基本數學思想(數形結合思想、整體思想、方程思想等)與基本活動經驗,如客觀題小壓軸第10、15 題,解答題壓軸第22、23 題,讓具備一定思維能力的考生能夠展示學業水平,讓高水平層次的學生能夠充分發揮數學思維與能力,通過解題脫穎而出.

2 試卷亮點評析

2.1 立足基礎,緊扣教材,關注全體

廣東卷特別關注義務教育初中學段應知必會的數學基本知識與基本技能,在“雙減”背景下,緊緊圍繞教材,重視對教材中通式通法的直接考查.

例1 我國著名數學家華羅庚曾為普及優選法作出重要貢獻.優選法中有一種0.618 法應用了( )

A.黃金分割數 B.平均數 C.眾數 D.中位數

評析: 本題直接引用人教版九年級上冊P18 閱讀與思考的材料,材料介紹了黃金分割數的概念,了解著名數學家華羅庚去世前幾個小時依然堅持作報告講解優選法的感人事跡.既考查了學生對黃金分割數的了解,又能通過名人事跡引導學生增強民族自豪感與文化自信, 提高數學學習興趣,有利于學生樹立適合未來發展的正確價值觀.

例2 某蓄電池的電壓為48V, 使用此蓄電池時, 電流I(單位:A)與電阻R(單位: ?)的函數表達式為,當R=12? 時,I的值為____A.

評析: 本題以物理的電流、電阻與電壓的數量關系為背景, 主要考查數學中反比例函數的概念與求函數值的方法.跨學科融合問題能培養學生主動建立不同學科的聯系,靈活運用數學概念、原理、方法解釋或解決跨學科的現象、規律與問題,有意識地培養了學生的運算能力、創新意識、應用意識.

2.2 重在運用,關注基本思想與方法的滲透

廣東卷命題突出對數形結合、函數與方程、轉化化歸、演繹推理等主要數學思想的考查,以具體的問題或實際情境為背景提出數學問題,讓學生有意識地靈活運用數學思想與方法解決問題,是提升數學抽象能力、運算能力、推理能力、模型觀念、應用意識與創新意識的重要途徑.

例3 如題10 圖,拋物線y=ax2+c經過正方形OABC的三個頂點A,B,C,點B在y軸上,則ac的值為( )

A.-1 B.-2 C.-3 D.-4

評析: 我國著名數學家華羅庚先生說,形缺數時難入微,數缺形時少直觀.廣東卷第10題考查二次函數與正方形的小綜合, 重點考查了學生觀察二次函數y=ax2+c圖象的對稱軸及對稱性與正方形的性質的聯系,滲透數形結合思想、培養抽象能力.

考題設問新穎,最大的亮點是題目沒有給出具體的點坐標或數據,卻要求系數ac的值,是本題的難點.突破的關鍵是連接AC,因為BO⊥AC,A、C關于y軸對稱.水平較高的學生會用根據正方形的的性質,設參法表示點A(m,m)、B(0,2m)坐標或C(-m,m),B(0,2m)坐標(m ?= 0), 然后運用待定系數法用m表示a、c.水平一般的學生也能巧用客觀題解題技巧——特殊值法, 根據幾何直觀直接設點A(1,1),B(0,2),也能求到正解.因此本題設置巧妙,立意明確,不同人有不同的思考與解法,同時培養學生的數形結合觀察分析能力、抽象能力、運算能力、推理能力.

思考: 問題變式, 其一: 刪圖, 變為無圖題, 其他不變,根據拋物線y=ax2+c的圖象特點, 由于開口方向不確定, 需要分類討論, 但是ac結果不變; 其二: 改拋物線為“y=a(x-h)2”,拋物線經過正方形ABCD的三個頂點A,B,C,點A在y軸上,點B在x軸上,則ah的值為____.變式二解析: 根據拋物線解析式的特征,頂點在x軸上,因此點B為頂點,但對于開口方向與對稱軸位置并無確定,此題需要分類討論, 具體根據開方方向及對稱軸位置分四種情況,同理根據拋物線對稱性及正方形的性質,設點坐后運用待定系數法運算得ah=±1.

2.3 拓展思維,發展素養,突出探究,選拔創新

初中數學的全等變換包括圖形的平移、旋轉、軸對稱.廣東卷最后兩道壓軸題突破傳統命題模式,大膽將特殊的平行四邊形、圓與軸對稱、旋轉相結,類似于2021 年廣東卷第24題把梯形與圓結合,立意鮮明,導向教學,具備很強的人才選拔功能.要求學生具備扎實的基礎知識與基本技能,靈活運用數形結合思想、函數與方程思想、轉化思想等分析問題.

廣東卷的綜合探究、綜合運用題把數學幾何演變過程以多幅圖進行直觀演示,最大的亮點在于是命題者把幾何演變的某個瞬間作為條件,引導學生進行猜想與證明,把幾何直觀與邏輯推理有機地整合,使推理論證成為學生觀察、猜想、探究后的自然延續, 注重發展學生的合情推理和演繹推理,關注輔助線建構幾何模型,感悟動態幾何的研究價值——以不變應萬變,感受圖形與幾何的魅力,逐步形成空間觀念、抽象能力、幾何直觀、邏輯推理、創新意識等數學核心素養.

例4 綜合探究如題22-1 圖,在矩形ABCD中(AB>AD),對角線AC,BD相交于點O,點A關于BD的對稱點為A′.連接AA′交BD于點B,連接CA.

(1)求證:AA′⊥CA′;(關鍵問題)

(2)以點O為圓心,OE為半徑作圓.

①如題22-2圖,⊙O與CD相切,求證:

②如題22-3 圖,⊙O與CA′相切,AD= 1,求⊙O的面積.

點撥與評析: 本題是廣東卷第22 題,以矩形ABCD與點A與A′對稱關于BD對稱(折疊)為主線,探究以OE為半徑的圓O分別與矩形一邊CD、直角三角形直角邊A′C相切為條件的證明與求解問題,具體考查了矩形的性質,切線的性質,全等三角形的判定,等腰直角三角形的判定與性質,特殊角的銳角三角函數,勾股定理列方程,滲透了數形結合思想、方程思想,轉化思想,整體思想.

本題設問由淺入深、環環相扣、由表及里,符合幾何圖形演變的自然生長過程:

第(1)問關鍵是運用軸對稱的性質、中位線的判定與性質證明AA′⊥CA′;

盡管本題屬于幾何動態演變問題,試題中圖形較多,但是設問意圖明確,本題入口寬,方法多樣,考查了不同層次學生的數學思維品質, 最大的亮點在于第(2)問第②小問, 與第①問緊密關聯,解題思維遞進,打破慣性思維,運用整體思想求圓的面積,深入淺出,基礎扎實且能力較強的學生“跳一跳”能解決,考場中也給不同層次的學生以不同的選擇,體現了中考試題的選拔性要求,對數學思維本質和學科素養的考查非常到位,是一道很好的考題.

例5 綜合應用如題23-1 圖,在平面直角坐標系中,正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上.如題23-2 圖,將正方形OABC繞點O逆時針旋轉,旋轉角為α(0°<α<45°),AB交直線y=x于點E,BC交y軸于點F.

(1)當旋轉角∠COF為多少度時,OE=OF; (直接寫出結果,不要求寫解答過程);

(2)若點A(4,3),求FC的長;

(3) 如題23-3 圖, 對角線AC交y軸于點M, 交直線y=x于點N,連接FN.將?OFN與?OCF的面積分別記為S1與S2,設S=S1-S2,AN=n,求S關于n的函數表達式.

點撥與評析: 本題是廣東卷最后第23 題,以直角坐標系中有一個頂點在原點O的正方形旋轉問題為背景,主要探究求角度問題、求線段長問題,求函數表達式的方法,考查了正比例函數y=x的圖象性質,全等三角形的判定性質,正方形的性質,四點共圓證明及運用,等腰直角三角形性質,三角形面積問題等積及作差轉化, 相似三角形的判定與性質等,問題符合新課標要求,意圖明確,層次豐富,綜合性強,難度不斷攀升,區分度很高.同時蘊含了PISA 理念,要求學生具備較高對現實問題的分析和解決能力、對題干信息的處理能力,體現了對幾何直觀、抽象能力、邏輯推理、運算能力、創新意識、應用意識等核心素養的考查.

本題價值在于學生在想象正方形旋轉過程中, 能夠感悟動態幾何模型變與不變, 建構輔助線搭建常見幾何模型——以線顯形,以靜制動,窺探數學現象的本質:

第(1)問關鍵是根據條件y=x得∠EOF= 45°,根據OE=OF、AO=CO證明Rt?OAE= Rt?OCF, 易得∠COF=22.5°,比較簡單;

第(2) 問關鍵是過點A作垂線段, 構造Rt?AHO,根據A(4,3) 得OA= 5, 根據同角的余角相等易證Rt?AHORt?FCO, 得, 代入AH= 3,OH=4,CO=5 求得,難度中等;

(4)本題關鍵在于證明FN⊥NO,如題23-3-1 圖

第一,證FN⊥NO方法可運用

得到點C、O、N、F四點共圓, 然后易得∠FNO= 180°-∠FCO=90°;

圖23-3-1

廣東卷第23 題第(3)問思維難度大, 主要體現在該問題敢于打破常規, 設問新穎, 傳統方法不輕易解決問題, 也不能再單純地運用解析幾何法求三角形面積的函數解析式, 而是要求學生能夠通過深入思考發掘AN與三角形面積之差S的關系,在考場時間有限的情況下對學生的學科素養、思維能力及心理素質提出更高的要求.該題作為初中數學學業考試的壓軸題,區分度高,符合2022 版新課標第六點課程實施的評價建議中關于學業水平考試命題原則,為高一級學校招生錄取提供重要依據,也符合新課標的要求,關注數學本質,關注通性通法,避免套路化,反對題海戰術,著重素養立意,育人導向.

3 教學啟示

3.1 教學應重視通式通法的傳授

教師的主要教學任務必須是幫助學生夯實基礎知識,教學中滲透基本思想,教會學生形成基本技能和基本活動經驗.同時要善于運用微專題進行能力提升,微專題需精準把握問題,把點連成線,線連成網,使學生形成較強的解決實際問題的能力.課堂中,教師要特別關注巧妙設問,加強與學生的互動,科學精準提問,逐步引導,多一些鼓勵和放手,多一些思考和交流,創建生本智慧高效課堂.

3.2 中考復習去模式化,重視探究、應用與創新

中考復習最關鍵的是,要建立初中數學每個領域中以主干知識為支柱的知識網絡,同時也要敢于打破不同知識領域知識的壁壘,敢于創新,互相融合.如在代數的復習中要融入圖形與幾何問題;在圖形與幾何的復習中加入函數、方程與不等式等代數推理方法,擴大知識與方法的聯系點.中考備考時必須多角度、多方向地研究分析,而不是讓學生去做大量模仿式、死記硬背的習題.

3.3 備考培優指向素養,在精在變,在歸納在反思

中考具備立德樹人、服務選才、導向教學的功能,2023 年廣東卷的命題充分顯示了義務教育課程的教育目標,體現先進的教育理念與國家意志,培養社會主義建設者和接班人.

因此今后中考培優備考在精在變,課堂以典型問題為載體,設置培優微專題引導學生進行回顧與反思,充分發揮問題的價值.從多角度啟發學生進行解題聯想,要重視一題多解,更要重視一題多問、一題多變;設置開放性問題、條件或結論探索問題,激發學生學習數學的興趣.

另外解題后要及時復盤,通過錯題本收集錯因與改正筆記,有針對性進行總結歸納,進行個性化的解題技巧、方法、模型的總結.教師更要培養學生閱讀理解、獲取信息、數學抽象、數學表達與推理等方面的能力,培養學生會用數學眼光觀察現實世界,會用數學的思想思考現實世界,會用數學的語言表達現實世界.