基于GeoGebra 的解析幾何中一類蝴蝶模型的探究與推廣*

江蘇省常州市第二中學(xué)(213003) 王 強(qiáng)

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)分支科學(xué),既是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是高中數(shù)學(xué)課程的主干內(nèi)容.平面解析幾何綜合題是每年高考的必考題型,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一,其研究方法是通過(guò)建立幾何圖形的代數(shù)方程(或不等式),實(shí)施代數(shù)運(yùn)算,并由代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果得到幾何圖形的性質(zhì).法國(guó)著名雕塑家羅丹曾說(shuō): 生活中不是缺少美,而是缺少一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),我們也要培養(yǎng)一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛.以近三年的全國(guó)高考題為例,我們發(fā)現(xiàn)每年都有一些美麗的解析幾何模型值得我們深入探究,通過(guò)探究我們可以充分感受到圓錐曲線的和諧統(tǒng)一之美.筆者以一道2022 年全國(guó)甲卷理科的解析幾何題作為探究情境,開(kāi)設(shè)了一節(jié)校際公開(kāi)課“圓錐曲線中一類蝴蝶模型的探究”,現(xiàn)將教學(xué)過(guò)程和教后反思整理如下,懇請(qǐng)讀者不吝賜教.

1 挖掘真題啟示,創(chuàng)設(shè)模型情境

教師呈現(xiàn)近年新高考全國(guó)卷解答題中美麗的解析幾何模型,如2020 年的新課標(biāo)I 卷的“燕尾”模型(圖1),2021 年全國(guó)甲卷的“眼睛”模型(圖2),并結(jié)合GeoGebra 軟件制作的動(dòng)畫,進(jìn)一步將真題結(jié)論進(jìn)行一般化推廣,讓學(xué)生初步感受圓錐曲線的圖形美和統(tǒng)一美.

圖1“燕尾”模型

圖2“眼睛”模型

圖3 拋物線中的“蝴蝶”模型

題目呈現(xiàn)(2022 年全國(guó)甲卷理科20)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)F的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線MD,ND與C另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.

2 順應(yīng)學(xué)生思維,探究解決模型

師: 這節(jié)課我們一起探究圓錐曲線中這類“蝴蝶模型”.(學(xué)生思考片刻后,請(qǐng)學(xué)生交流解題思路.)

師: 生1 對(duì)拋物線的定義運(yùn)用的比較好.那么第二問(wèn)同學(xué)們是如何思考的呢?

生2: 因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)F(1,0), 所以可設(shè)直線MN:x=my+ 1, 代入y2= 4x, 可得y2- 4my- 4 = 0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則?>0,y1+y2=4m,y1y2=-4.

當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí),由對(duì)稱性知直線AB斜率也不存在,此時(shí)α-β=0.

當(dāng)直線MN斜率存在時(shí),則直線AB斜率存在,分別記直線MN和AB的斜率為k1,k2,則k1= tanα,k2= tanβ,所以.后面我就沒(méi)有思路了……

師: 生2 利用了轉(zhuǎn)化的方法將α-β的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了tan(α-β)的最值問(wèn)題,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成了與兩直線的斜率相關(guān)的二元的最值問(wèn)題.我們繼續(xù)思考研究二元最值的一般方法是什么方法?

生2: 消元法.

師: 消元法的前提是知道k1和k2之間的關(guān)系,最理想是知道k1和k2的等量關(guān)系,你能根據(jù)圖形直觀大膽提出猜想嗎? 大家一起討論下.(討論過(guò)后,請(qǐng)學(xué)生代表生3 談猜想)

師: 生3 從四則運(yùn)算的角度大膽提出了四個(gè)猜想,并借助圖形的對(duì)稱性和直觀性,否定了前三個(gè),那么是否為定值呢?

教師操作GeoGebra 課件, 通過(guò)移動(dòng)滑動(dòng)條改變直線MN,觀察直線MN和直線AB的方程的變化(圖4),發(fā)現(xiàn)直線MN的斜率是直線AB的斜率的2 倍, 猜想(注: 為了便于觀察,需要在GeoGebra 中設(shè)置直線方程的形式為y=kx+b)

圖4 斜率之比為定值

師: 生4 借助已知一點(diǎn)算另一點(diǎn)的方法得到了點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),從而證明了,進(jìn)一步消元,并利用基本不等式求出了取得最大值時(shí)直線AB的斜率,推理過(guò)程中有值得商榷之處嗎?

生5: 用基本不等式求最值時(shí), 應(yīng)注意“一正二定三相等”,還需要對(duì)k2的正負(fù)進(jìn)行討論,由斜率和傾斜角的關(guān)系知,若k2<0,則α<β,此時(shí)α-β為負(fù)值,然后討論k2>0.

師: 生5 關(guān)注到了應(yīng)對(duì)k2的正負(fù)進(jìn)行討論,思考很全面.通過(guò)前面的求解我們已知直線AB的斜率為,求直線AB的方程還需要求什么量? 你能提出你的猜想嗎?

生6: 還需要求直線上一點(diǎn),有可能直線AB過(guò)某一定點(diǎn).

師: 定值定點(diǎn)問(wèn)題是我們平時(shí)研究的重點(diǎn).如果直線AB過(guò)定點(diǎn),你能預(yù)判定點(diǎn)的位置嗎? 為什么?

生7: 由橢圓的對(duì)稱性,定點(diǎn)在x軸上.

教師讓生7 上臺(tái)操作GeoGebra,設(shè)置追蹤直線AB,移動(dòng)滑動(dòng)條(圖5),發(fā)現(xiàn)直線AB交于一定點(diǎn)(4,0).

圖5 直線過(guò)定點(diǎn)

圖6 橢圓中的“蝴蝶”模型

圖7 雙曲線中的“蝴蝶”模型

追問(wèn): 借助GeoGebra 的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn),我們發(fā)現(xiàn)直線AB過(guò)定點(diǎn)(4,0).我們能不能用解析法進(jìn)行論證呢? (學(xué)生獨(dú)立推理后,投影學(xué)生的解答.)

師: 在生8 證明定點(diǎn)的過(guò)程中,令“y=0”是非常關(guān)鍵的一步,利用圖形特征如橢圓的對(duì)稱性起到了簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.回顧解題過(guò)程,我們發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化中往往蘊(yùn)含了不變,化動(dòng)為定是我們求解問(wèn)題的方向,以形助數(shù)是我們簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法.

3 自主生成問(wèn)題,類比推廣模型

師: 開(kāi)普勒(數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家)曾說(shuō)“數(shù)學(xué)就是研究千變?nèi)f化中不變的關(guān)系”,定值定點(diǎn)問(wèn)題也是高考的熱點(diǎn).根據(jù)圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一性,通過(guò)類比你能提出橢圓或雙曲線中可能成立的定值定點(diǎn)結(jié)論嗎? (教師利用GeoGebra 課件與學(xué)生互動(dòng),共同生成新問(wèn)題.)

猜想1: 已知橢圓E:左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線交E于M,N兩點(diǎn).設(shè)直線MF2,NF2與橢圓E分別交于A,B兩點(diǎn).

(1)當(dāng)直線MN,AB的斜率存在時(shí),分別記為k1,k2,求證:為定值;

(2)求證: 直線AB恒過(guò)定點(diǎn).

猜想2: 已知雙曲線E:左焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線交E于M,N兩點(diǎn).已知G(1,0),設(shè)直線MG,NG與E另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B.

(1)當(dāng)直線MN,AB的斜率存在時(shí),分別記為k1,k2,求證:為定值;

(2)求證: 直線AB恒過(guò)定點(diǎn).

實(shí)際教學(xué)中學(xué)生生成新問(wèn)題后,只證明了猜想1 的定值,定點(diǎn)留作課后思考.因?yàn)槠藓妥C法的相似性,留作讀者自行證明.

4 提煉模型算法,生成探究作業(yè)

師: 你能畫一幅圖來(lái)提煉蝴蝶模型的算法嗎?“學(xué)生”就是學(xué)會(huì)不斷生出問(wèn)題的人.將問(wèn)題“一般化”是數(shù)學(xué)研究走向深入的一般方法,你還能提出新的更一般的問(wèn)題嗎?

學(xué)生課后通過(guò)研究小組的共同探究,利用GeoGebra 先猜再證得到了如下三個(gè)性質(zhì),通過(guò)研究充分感受到了圓錐曲線的和諧統(tǒng)一之美.

性質(zhì)1 若過(guò)點(diǎn)M(m,0) 的直線與拋物線C:y2=2px(p> 0)交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)N(n,0)直線AN,BN分別交拋物線C于點(diǎn)P,Q,則直線PQ過(guò)定點(diǎn)

若直線AB和PQ的斜率均存在,且

5 技術(shù)輔助教學(xué),促進(jìn)素養(yǎng)生成

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)建議中指出應(yīng)重視信息技術(shù)運(yùn)用,實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合.[1]章建躍教授提出“四個(gè)理解”是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵,“理解技術(shù)”就是要懂得如何有效利用技術(shù)幫助學(xué)生的學(xué)和教師的教.本節(jié)課充分融合動(dòng)態(tài)幾何軟件GeoGebra,在一類拋物線的最值問(wèn)題探究中利用GeoGebra 的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)發(fā)現(xiàn)定值定點(diǎn)的存在,借助幾何圖形直觀指明代數(shù)運(yùn)算方向.利用類比、推廣、一般化的數(shù)學(xué)研究方法,從模型的視角進(jìn)一步思考問(wèn)題,推廣得到這類蝴蝶模型在橢圓和雙曲線中的性質(zhì).

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).[1]數(shù)學(xué)建模的第一階段是通過(guò)利用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,借助數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題,通過(guò)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題,從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的過(guò)渡.在日常教學(xué)中我們應(yīng)增強(qiáng)模型的意識(shí),融入建模的思想,如本課例中基于GeoGebra 軟件利用數(shù)學(xué)的眼光(動(dòng)中找定)發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)定值的存在,借助數(shù)學(xué)的思維(從特殊到一般)深入探究模型,通過(guò)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言(性質(zhì)1～3)表達(dá)推廣得到的結(jié)論.

2019 年國(guó)務(wù)院辦公廳發(fā)布的《關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見(jiàn)》中指出,應(yīng)“提高作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量,精心設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性作業(yè),適當(dāng)增加探究性、實(shí)踐性、綜合性作業(yè)”.GeoGebra 軟件為開(kāi)展數(shù)學(xué)探究性作業(yè)搭建了平臺(tái),如本探究中性質(zhì)1～3 的發(fā)現(xiàn)和證明,學(xué)生利用GeoGebra 的直觀呈現(xiàn)發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的可行性,進(jìn)一步用解析法推證后,利用GeoGebra 的數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證性質(zhì)的正確性.通過(guò)探究性作業(yè)可以提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,起到減負(fù)增效的作用,促進(jìn)核心素養(yǎng)的生成.

數(shù)學(xué)可視化就是“看見(jiàn)不可見(jiàn)”, 即將抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象用可看見(jiàn)的表征形式清楚直白地呈現(xiàn)出來(lái),從而得到一個(gè)形象、直觀、整體的認(rèn)識(shí)和理解.[2]利用GeoGebra 可以將抽象的方法直觀化,幫助學(xué)習(xí)者洞悉問(wèn)題本質(zhì).從這類蝴蝶模型的探究課例中筆者深切感受到GeoGebra 軟件不僅是幾何圖形動(dòng)態(tài)展示的強(qiáng)大助手,也是數(shù)學(xué)探究性作業(yè)實(shí)施的有力后盾,更是理想的深度學(xué)習(xí)平臺(tái)和深度教學(xué)工具.在新課改中我們應(yīng)加強(qiáng)提升自身的信息技術(shù)素養(yǎng),更好地利用技術(shù)促進(jìn)教與學(xué),這也是數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長(zhǎng)的必經(jīng)之路.