關于角平分線的研究拓展與應用

浙江省寧波市效實中學(315012) 徐靖杰 童益民

數學解題就是在探求已知條件和目標之間的聯系通道,此為數學解題的本質.角平分線是高中數學中頻繁出現的條件, 其性質豐富多樣, 應用技巧靈活多變, 有諸多特殊結論.對于有關角平分線基本結構的歸納、總結與拓展,對數學解題應用有很大的幫助.

1 角平分線的研究拓展

基本結構1 已知?ABC中邊b,c與角A,處理角平分線AD.

題1 如圖1, 已知?ABC中, 角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,b=4,c= 2,A= 120°,求角平分線AD的長.

解1: 利用面積方法

小結1: 利用面積方法處理角平分線的問題是常用的方法,利用面積方法還可以得到一些常用的結論.

結論1: 角平分線定理

結論2: 張角定理

基本結構2 已知?ABC中邊a,b,c, 處理角平分線AD.

結論3: 斯特瓦爾特定理

設D為?ABC的邊BC上異于B,C的任一點,則有AB2·CD+AC2·BD=AD2·BC+BD·CD·BC.

結論4: 斯庫頓定理

2 角平分線的應用

例2 (2018 年高考江蘇卷) 在?ABC中, 角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, ∠ABC= 120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為____.

解: ?ABD中, 利用余弦定理, 可得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA,解得AD=2.不妨設CD=t,由角平分線定理,,可得

法1: 利用余弦定理

3 總結

與角平分線模型有關的問題,可以已知條件求角平分線長,也可以已知角平分線長,求其它結論,常見的處理方法是利用角平分線定理,及余弦定理等解三角形.本文利用面積方法和向量方法,拓展得到角平分線定理、張角定理、斯特瓦爾特定理及斯庫頓定理,面積方法與向量方法是處理角平分線的一般方法,而靈活應用角平分線定理、張角定理及斯庫頓定理,對快速解題有很好的幫助,在掌握常規(guī)方法的基礎上,對學生進行一定的拓展與應用,可以拓寬他們的思維,更能系統的掌握相關的內容,更加靈活的解決問題.