通曉概率公式 盡顯數學魅力*
——生物概率問題中“貝葉斯公式”的應用

聶振榮 潘小峰

1.南京市第九中學(210023);2.江蘇省外國語學校(215100);3.華中師范大學人工智能教育學部(430070)

生物數學是近現代應用數學中有著最大進展和發展潛力的領域,數學的幾乎所有分支都己經滲透到了生物學中并產生了許多對理論數學不具有普適性,但卻很適合于研究生物學問題的專門技巧與方法[1].高考生物大綱中明確指出考生要能用文字、圖表及數學方式等多種形式準確描述生物學方面的內容,并能通過建立模型、系統分析等數學方法解決生物問題.因此數學知識是否掌握牢固對生物的學業成績有很大影響.靈活運用高中數學知識解決生物問題,有利于學生能夠體會和理解數學的應用價值,從而提高學習興趣.下面我們以貝葉斯公式解決生物中的概率問題為例做簡要分析.

例1 某一特定地區對任意一個人而言感染艾滋病的概率為0.001.醫學研究表明,化驗結果是存在錯誤的.已知患有AIDS 的人其化驗結果99%呈陽性,而沒患AIDS 的人其化驗結果97%呈陰性,現某人的檢驗結果呈陽性,問他真的患有AIDS 的概率是多少?

這是生物中經常遇到的概率計算問題,在數學中屬于貝葉斯公式的應用.如果將“被檢查者患有AIDS”記作事件B,將“檢查結果呈陽性”記作事件A,本質是求在檢查結果是陽性的結果中患有AIDS 的概率,即本質為數學中的求條件概率P(B|A).

這就要引入概率論與數理統計中的著名公式——貝葉斯公式.它是基于乘法公式與全概率公式,用來求解條件概率的工具.

貝葉斯公式也常稱為逆概率公式,即在已知“結果”的條件下,求出“原因”的概率.如果稱P(Bi)為Bi的先驗概率,稱P(Bi|A)為Bi的后驗概率,則貝葉斯公式是專門用于計算后驗概率的,也就是通過A發生的這個信息,來對Bi的概率做出修正.

即貝葉斯定理可表述成:后驗概率=調整因子×先驗概率.在不少國外教材中,也有把P(B|A)稱為“似然度”,P(B)稱為“標準化常量”等.但個人認為前者的方式更利于對該定理的理解.回到例題, 則可以清晰的發現P(B) = 0.001,由貝葉斯公式可得

現在來分析這一結果,首先,如果不做檢查,該地區對任意一人而言感染的概率為P(B)=0.001,根據檢查后的陽性反應,此人是AIDS 患者的概率為P(B|A)=0.032,從0.001到0.032 增加約31 倍,說明這項檢查對于診斷個人是否患有AIDS 是有意義的.

其次, 在檢查結果呈陽性的人中, 真患AIDS 的人不到3.2%,這個結果可能令人吃驚,但稍作分析便可理解.由于艾滋病發病率低,在1000 個人中約有1 人,也就是約有999 人不患艾滋病.對這1000 個人進行檢查,按其錯檢的概率可知,999 個不患病的人中約有999×0.03 = 29.97 個呈陽性.而另外1 個真患艾滋病的檢查者中約有1×0.99 = 0.99 個呈陽性.如果僅僅從30.96 個呈陽性檢查者中,真患病的患者0.99 人約占3.2%.

因為艾滋病潛伏期很長, 所以即便感染了也可能在相當長的一段時間內不會有任何不適, 所以艾滋病檢測的假陽性會造成非常嚴重的心理壓力.而在現代醫學中,為了進一步降低檢查出現差錯的概率, 常采用復查的方式, 通過其余醫療檢測方法排除明顯不是艾滋病患者的人群后, 再用艾滋病檢測對懷疑的人群進行檢查.此時我們通過貝葉斯公式再次計算,

發現這類人群被懷疑的可能性將大幅度提升.

對于這種初次檢測準確率較低的檢測,只需要經過再次篩查,就可大幅度提高AIDS 檢測的準確性.除此之外,貝葉斯公式還可以在肝癌診斷中最重要的腫瘤標志物甲胎蛋白的檢測中發揮作用,在孟德爾的基因遺傳學上也得以應用.

例2 在孟德爾豌豆實驗中, 子二代的基因型為DD,Dd,dd, 其中D為顯性基因,d為隱性基因, 且這三種基因型的比為1 : 2 : 1.如果在子二代中任意選取兩株豌豆進行雜交試驗,那么子三代中基因型為dd的父本基因組合為Dd,Dd的概率是多大?

分析 設從子二代中任取兩株豌豆作為父本進行雜交試驗,有多種基因組合形式,記為Ai(i=1,2,3,···,9);設事件B: 子三代基因型dd.

因此可以發現對于生物學科中計算概率的問題,往往利用與條件概率息息相關的貝葉斯公式,在已知“結果”的條件下,探求“原因”的概率.除此之外,數學中的二項式定理、排列組合等多種思想方法在生物學中個體自由交配的基因突變和雜合子的基因型判斷都已廣泛應用.若生物學教師能經常以數學思維引領學生,配合使用數學公式,有利于學生基于數理基礎理解更多復雜的生物學問題,這也更有利于數學公式及定理在現實生活中的應用,培養學生的數學建模核心素養.所以教師在探究生物學科與數學學科之間的融合問題中,可以多做思考和探索.