基于數學核心素養下的四邊三角形解題策略
——一道東莞市期末考試題的思考

廣東省東莞市第六高級中學(523419) 王薔薇

解三角形是高中數學的一個重要章節.在高考解答題的六大模塊中, 解三角形與三角函數是其中的一個重要部分.其中,解三角形題目的涉及形式多樣,主要考察學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.從2020 年八省聯考,以及2021、2022 年的新高考對解三角形的考察來看,考察的力度有所增強.在教學中,適當的處理解三角形的個別微專題,對學生的學習能力的提升是很有幫助的.筆者探究解四邊三角形的多種解法,希望能起到拋磚引玉的作用.

那什么是四邊三角形呢? 如下圖,在三角形中,增加一條線段,組成兩個小三角形,這樣的形狀我們稱之為四邊三角形.

1 典例分析

例1 (東莞市2022 高一下期末考試21) ?ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足2bcosC=2a-c.

(1)求角B;

(2)如右圖,若?ABC外接圓半徑為,D為AC的中點,且BD=2,求?ABC的周長.

分析 這道題的第(2)問能看到,所有的三角形都不是可解三角形,由第一問得到的B角和外接圓半徑易算出b,要求周長,即找到a+c的值,從條件中不難發現,余弦定理易得到第一個關系,兩個未知數,但是還需另找一個條件聯立方程組或者消元才行.所以如何找到第二個條件,是本題的關鍵.

2 常見方法

方法一: 余弦定理

評注 四邊三角形由于圖形的特點,容易找到公共的角或者相鄰互補的角即可得到新的邊角關系,所以,這道題用余弦定理的方法即可解.

方法二: 向量的加法

評注 由中點的特點易發現,向量法是結合角度和邊長的的有力工具,從而結合余弦定理聯立方程組,易得.

方法三: 極化恒等式

評注 由中線的特點,用極化恒等式可以快速找到邊角間的關系.

方法四: 作平行線,轉移到一個三角形

即

評注 本題由于所給的邊角都不在一個三角形中,關鍵沒有可解三角形,所以,將所知條件平移到一個三角形中也是一個很巧妙的方法.

方法五: 構造平行四邊形

即

評注 本題由于給定的中線,要找a,c的關系,補成平行四邊形,用四邊的平方和等于對角線的平方和也是一個不錯的方法.

小結 解三角形問題,關鍵是看是否有可解三角形,如果不可解,那就需要聯立方程組或者消元,所以找到相應的條件是關鍵.那么,此類問題,找公共角或者相鄰的補角,利用余弦定理是個不錯的選擇.而由于中線,又有很多可以入手的方式,所以可選擇性比較多.那,如果不是中線呢? 我們可以看看以下的變式.

3 拓展變式

例2 如右圖,在?ABC中,AB=2AC,AD是∠BAC的角平分線,且AD=kAC.求k的取值范圍;

分析: 這也是四邊三角形問題, 只是由中線變成了角平分線,所以我們要根據角平分線的一些性質來求, 比如角平分線定理、面積或者正弦定理來求解.

方法一: 正弦定理

評注 本題由于給的是角平分線,角多,可以選擇正弦定理求解.也都不是可解三角形,要求k的值,就是邊之間的比例關系,所以,選擇正弦定理是比較合適的.

方法二: 等面積法

評注 本題由于給的是角平分線,得到兩角相等,也可以根據等面積法,找到邊角關系.

方法三: 余弦定理法

評注 根據公共的角或者相鄰互補的角即可得到新的邊角關系,所以,這道題,用余弦定理的方法即可求解.

方法四: 作平行線,轉移到一個三角形

評注 由于所給的條件不在一個三角形中, 所以也可以通過平行線, 將相關信息轉化到一個三角形中,經過相似的到邊長的關系,亦可利用余弦定理將所求值轉換為相關角來求范圍.

小結 此題的求解過程很好地體現了轉化與化歸、函數與方程(利用正弦定理、余弦定理解三角形體現的就是方程思想,函數思想體現在利用函數知識求最值)、數形結合(將圖形關系轉化為數量關系再解題)思想.

4 高考鏈接

例3 (2021 新高考Ⅰ卷19)記?ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac, 點D在邊AC上,BDsin ∠ABC=asinC.

(1)略.(2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.

分析 (2)關鍵是消元,找a和c的關系,列出等式關系求解.

評注 四邊三角形由于圖形的特點,容易找到公共的角或者相鄰互補的角即可確定a和c的關系,所以,這道題,用余弦定理的方法即可求解.

法二: 向量法

由余弦定理得

評注 由三等分點的特點易發現,向量法也可以結合角度和邊長的關系,從而結合余弦定理聯立方程組,易得.

法三: 作平行線,轉移到一個三角形

評注 根據輔助線的構造,通過平行的比例關系確定對應線段的長度,利用余弦定理,結合方程的轉化與求解,確定a和c的關系,通過分類討論,可達到有效轉化,巧妙處理.

評注 這道高考題的模型還是四邊三角形,更為巧妙的是滲透了更多的函數思想, 用的還是解三角形的思想方法,對學生數學抽象和數學運算素養提出了更高的要求.

5 常見解四邊三角形的策略選擇

綜上所述,四邊三角形模型主要包含以下幾種情況:

增加的線段是中線(圖1)時,可用方法比較多,向量的加法、極化恒等式、構造平行四邊形等等都是比較好的方法;

圖1

增加的線段是垂線(圖2)時,勾股定理、等面積法常見;

圖2

增加的線段是角平分線(圖3) 時,角平分線定理常用,優先正弦定理或者等面積法;

圖3

增加的線段是定比分點或者任意線(圖4)時,如果是定比分點,那用向量法或者做平行線構造相似也很好用.如果是任意點的話,就公共角或者兩補角互補用余弦定理.

萬變不離其宗, 利用三角形內蘊的基本方程與不等式(正弦定理、余弦定理,三角形內角和定理,三角形三邊的不等關系),解決代數條件下或幾何條件下的三角形三條邊與三個角的度量問題.在獲得三角形三條邊或三個角的度量關系的同時,也可以獲得該三角形其他度量信息,如三角形的周長、面積以及其他伴隨要素的度量信息.所謂給定的代數條件或幾何條件,既可以是基于三角形三條邊、三個角的有關等式,也可以是基于周長、面積等問題信息.這些給定的條件是否等價于三角形全等判定的基本定理(角邊角、邊角邊、邊邊邊),決定了該三角形是完全可解,還是局部可解.

6 結束語

本文探究由一道期末考試題,鏈接高考,比對感悟,觸類旁通, 歸納出一類題, 形成一個系統塊, 進而拓寬解題視野.在教學復習的過程中,確定好的框架范圍內,教師通過數學教學課堂,發揮學生的主作用.同時引導學生觀察、分析,探索發現解決問題的途徑,及融入解題思路、規律等數學方法技巧,在此基礎上,提升學生的運算求解能力,培養其邏輯推理能力,形成良好的數學素養.對我們老師來說,授人以魚不如授人以漁,學生更加需要的是方法的指引,在高中數學課程的學習中,我們希望學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的四基四能,更能提升學生的數學核心素養.