經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)
——以張景中院士“三共定理”的拓展教學(xué)為例

浙江省衢州市衢江錦繡中學(xué)(324022) 余正龍

浙江省衢州市衢江區(qū)第一初級中學(xué)(324022) 徐建兵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》(以下簡稱《課標(biāo)2022》)提出初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由三個方面構(gòu)成: 會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界[1].史寧中教授把這“三會”具體化為數(shù)學(xué)眼光即數(shù)學(xué)抽象,數(shù)學(xué)思維即邏輯推理,數(shù)學(xué)語言即數(shù)學(xué)模型,他認為數(shù)學(xué)教育的根本就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀,而數(shù)學(xué)直觀是在長期進行的數(shù)學(xué)思維活動中養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣,思維習(xí)慣的養(yǎng)成離不開數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程[2].張景中院士提出學(xué)習(xí)推理要從簡單開始,由淺入深,先學(xué)習(xí)用一個條件推理,再進一步學(xué)習(xí)用兩個條件和三個條件推理.在三角形的面積問題中,他提出共高定理、共邊定理和共角定理,從一個條件推出一個結(jié)論的命題,證起來容易,用起來簡單[3].在浙教版八年級上冊第一章節(jié)“1.1 認識三角形”中,《數(shù)學(xué)教學(xué)參考書》給出讓學(xué)生會用三角形的角平分線、中線和高線的概念,解決有關(guān)角度、面積計算等問題,教材在例題中設(shè)有角度計算問題,把與面積相關(guān)的問題放在了探究活動中(如圖1),還特別強調(diào)的這一問題的重要性.三角形中線平分面積是三角形中“等底同高”的應(yīng)用,三角形的高線分面積是“不等底同高”的問題,而角平分線分面積是“不等底等高”的問題.筆者嘗試以三角形的中線平分面積為起點,通過方案設(shè)計、原理追溯、歸納探究和拓展應(yīng)用,在讓學(xué)生經(jīng)歷三共定理數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程中,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),逐步形成理性精神[4].

圖1

1 教學(xué)設(shè)計與意圖

1.1 在方案設(shè)計的發(fā)散與收斂中發(fā)展學(xué)生邏輯推理

活動1: 方案設(shè)計

現(xiàn)有一塊三角形的草皮,要對其進行改造,把它分成四塊面積相等的三角形, 在每塊三角形上種植不同類型的花,形成一個美麗的花壇.請以小組形式匯報講解設(shè)計圖并說明理由.

設(shè)計意圖 發(fā)散思維是指根據(jù)已有信息,從不同角度、不同方向進行思考,尋求多樣性答案的一種思考方式,是創(chuàng)造性思維的最主要的特點,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力的表現(xiàn)之一.發(fā)散思維后的收斂思維,使思維條理化、簡明化、邏輯化和規(guī)律化,是邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展重要路徑.活動1 采用小組合作形式進行三角形面積四等分的方案設(shè)計,調(diào)動學(xué)生的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.圖2 的多種設(shè)計方案讓學(xué)生把問題的解決聚焦到“中線平分面積”這一個數(shù)學(xué)的本質(zhì)上,在交流與合作中體會歸納不同取點的分割方法,在經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理.

圖2

1.2 在追本溯源的理性研究中發(fā)展學(xué)生邏輯推理

活動2: 推理論證

求證: 三角形的中線平分這個三角形的面積.

已知: 如圖3,在?ABC中,CD是AB邊上的中線.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

求證:S?ADC=S?BDC

設(shè)計意圖 學(xué)起于思, 思源于疑, 教學(xué)中要善于誘發(fā)學(xué)生在“是什么”的基礎(chǔ)上追問“為什么”,以問題引領(lǐng)新問題,在追本溯源的推理論證中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),逐步形成理性精神[4].活動2 利用同高等底證明三角形中線平分面積的性質(zhì),是其“共高定理”中面積相等的特殊形式.變式1讓學(xué)生經(jīng)歷等底同高到同底等高的變化過程,學(xué)會多角度思考問題.變式2 則從兩個等面積的“共高三角形”中,不同底和不同高的視角思考問題,通過本環(huán)節(jié)問題的解決,揭示張景中院士提出的“共高定理”: 若D在AB邊上一點, 則有.通過三個不同的視角下高與底的變化的推理與證明讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)對象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的邏輯聯(lián)系,在發(fā)展學(xué)生邏輯推理中構(gòu)建從“共高定理”延伸到“共角定理”和“共邊定理”的邏輯體系,為后續(xù)的教學(xué)做好鋪墊.

1.3 在歸納探究的小組活動中發(fā)展學(xué)生邏輯推理

活動3: 數(shù)學(xué)歸納

已知?ABC的面積是1.

(4)如圖9,D、E是AB邊的兩個四等分點,H、I分別是BC、AC邊的三等分點.請你用前面問題解決中歸納猜想的結(jié)論求S的值.

圖9

設(shè)計意圖 歸納研究是指一種由一系列的特殊性的前提概括出一般性結(jié)論的研究方法,有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣, 形成實事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.其作用是對人們在實踐中認識了的一個個具體事例或個別判斷加以總結(jié)、概括,得出一般性的結(jié)論,從而獲取知識,發(fā)現(xiàn)真理.活動3 是在活動2 的認知基礎(chǔ)上出現(xiàn)的一類特殊“共角”三角形,是“共高”到“共邊”的過渡.通過這一類等分點的計算, 讓學(xué)生在連線分割構(gòu)造運用“共高定理”的方法中計算,猜想發(fā)現(xiàn)張景中院士提出的“共角定理”: 如圖7,若∠ABC= ∠EBG,則有.用這種方法在解決問題(4)的時候可以起到事半功倍的作用.通過活動3 學(xué)生在經(jīng)歷計算、觀察、歸納、猜想發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程中,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納的能力.在問題串的設(shè)計中采用等分點的面積問題計算,讓學(xué)生易懂易學(xué),化繁為簡,讓學(xué)生在經(jīng)歷規(guī)律探索中發(fā)展邏輯推理能力.

1.4 在拓展應(yīng)用的問題解決中發(fā)展學(xué)生邏輯推理

活動4: 拓展應(yīng)用

如圖10,D、E是AB邊的兩個四等分點,H、I分別是BC、AC邊的三等分點.若?ABC的面積為1.DH與EI交于點O,陰影部分的面積為S,則S=____.

圖10

變式: 如圖11,AD與CE相交于點F, 若S1= 1,S2=2,S3=3,陰影部分的面積為S4,則S4=____.

圖11

圖12

圖13

2 教學(xué)反思與建議

史寧中教授說過要改變教學(xué)設(shè)計的思路,不能像傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)那樣, 按照每一節(jié)課或每一個知識點進行教學(xué)設(shè)計,而應(yīng)當(dāng)把一些具有邏輯聯(lián)系的知識點放在一起進行整合設(shè)計[2].本節(jié)課以教材探究活動為起點,從方案設(shè)計、原理追溯、歸納推理和拓展應(yīng)用等環(huán)節(jié)展開,整堂課圍繞著數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的教學(xué)策略,利用數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)為學(xué)生構(gòu)建一層層深入的認知鏈,引導(dǎo)學(xué)生通過歸納、類比、推廣、特殊化等方式開展思維活動,通過邏輯推理達到對問題本質(zhì)的深刻認識,這是思維深刻性品質(zhì)的培養(yǎng)的過程,也是邏輯推理素養(yǎng)得到發(fā)展的過程.通過本節(jié)課實踐與研究,讓筆者對發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)的教學(xué)有了清晰的認識, 在教學(xué)設(shè)計時,一定要了解學(xué)生認知水平,選擇內(nèi)容要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),無論是新授課教學(xué)還是專題復(fù)習(xí)課都要讓學(xué)生擁有一個數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程;要創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,提出“關(guān)聯(lián)性”的數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生在問題解決中明白知識之間的邏輯關(guān)系;要啟發(fā)學(xué)生思考、鼓勵學(xué)生與他人交流,讓思維的火花在觀點的碰撞中形成;要讓學(xué)生在掌握知識技能的同時,理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考問題;要讓學(xué)生在問題解決的過程中感悟數(shù)學(xué)的思想、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生擁有“數(shù)學(xué)家的思維”[5].