基于二元三次 Ｂ 樣條擬插值的反應-擴散方程數值解

摘要：反應-擴散方程在科學和工程的許多分支中有著重要的應用，對此類方程數值解的研究具有重要意義． 鑒于計算域的復雜形狀、大量的自由度等導致計算非常困難，提出張量積型二元三次 Ｂ 樣條法求解一 類分數階反應-擴散方程和交叉反應擴散系統，首先計算得出二元三次 Ｂ 樣條擬插值的矩陣表達式，然后利用 Ｍａｔｌａｂ 進行數值模擬，最后將數值模擬解與精確解進行對比． 研究表明，當變量 ｔ 的迭代次數較低時，所提方法行之有效．

關鍵詞：反應-擴散方程；Ｂ 樣條擬插值；張量積型；數值模擬

中圖分類號：ＴＰ３９１． ４１ 文獻標志碼：Ａ 文章編號：１００１-８３９５（２０２４）０３-０４１１-１１

ｄｏｉ：１０． ３９６９ ／ ｊ． ｉｓｓｎ． １００１-８３９５． ２０２４． ０３． ０１４

對流-擴散-反應系統，包括對流-擴散和反應-擴散方程，在科學和工程的許多分支中有重要的應用 ［１］，這些應用包括方程模型運輸動力學 ［２-４］、人口動力學 ［５］、化學反應和燃燒 ［６］、傳熱和傳質 ［７-９］、 環境問題中濃度或污染的演變 ［１０］以及趨化性、模式形成和細胞生長過程 ［１１-１５］． 因此，此類方程的準確解對于準確描述問題中的動力學和傳遞過程具有重要意義．

由于計算域的復雜形狀、相互作用的強度、大量的自由度以及所使用的數值求解器的穩定性，反應-擴散方程所涉及的相關復雜性通常會非常苛刻． Ｈｅｎｒｙ 等 ［１６］描述了用于模擬包含反常擴散的活化劑-抑制劑動態系統的雙組分反應-擴散方程；文獻［９］研究了一類反應-擴散方程的前沿動態系統．目前已經開發了許多數值方法來解決分數反應擴散問題，例如：有限差分法 ［５］、有限元法 ［１７-１８］和光譜法 ［１９］． 然而，由于分數階差分算子的非局部特性 ［２０-２１］，數值方案的穩定性通常變得非常敏感 ［２１］．

此外，反應-擴散方程數值離散化通常會生成完整且密集的系數矩陣，這會導致嚴重的計算困難．然而，與反應-擴散系統不同，交叉擴散系統允許交叉擴散系數為負． 顯著的特點是反應擴散的均勻穩態是穩定的，但對于交叉擴散系統則不穩定 ［２２］． 例如具有自擴散和交叉擴散系統 ［２２-２３］、非均勻反應系統 ［２４-２５］、流行病模型 ［２６-２７］和植被模式多樣性 ［２８］的捕食者-獵物模型． 交叉反應-擴散過程在自然界中質量和化學成分的傳輸中起著重要作用．這些系統包含豐富多樣的行為． 由于它們的特性， 人們對交叉反應-擴散方程的研究越來越感興趣．

通過使用有限體積方法 ［２９-３１］、有限差分方法 ［３２］，已經開發了一些交叉擴散模型． 然而，這些方法在處理復雜幾何形狀的傳輸時被證明具有挑戰性．本文提出二元三次 Ｂ 樣條擬插值方法解決反應-擴散方程的數值逼近問題，是一元三次 Ｂ 樣條擬插值的推廣形式，可以直接構造，不需要求解線性方程組，具有良好的保形性、計算量小等優點，它在計算幾何和數值逼近方面有著廣泛的應用 ［３３-３４］．

文獻［３５-３７］已證實用一維三次 Ｂ 樣條擬插值法求解 Ｂｕｒｇｅｒｓ-Ｈｕｘｌｅｙ 等偏微分方程得到的數值解與解析解非常吻合． 因此本文用二元 Ｂ 樣條擬插值法求解更為復雜的偏微分方程并考慮其精度．

本文的安排如下：第一節基于三次 Ｂ 樣條基函數的表達式，構造二元三次 Ｂ 樣條擬插值算子，并給出其張量積型的矩陣表達式；第二節分別對二元分數階反應-擴散方程和交叉反應-擴散方程的 ２ 個例子進行數值實驗，得到相應的數值模擬圖和數值模擬解并與其精確解進行對比分析；最后在第三節得出相應的結論．

４ 結論

本文主要探討了基于二維三次 Ｂ 樣條擬插值法求解分數階反應-擴散方程和交叉反應-擴散方程的誤差，利用這種方法不需要求解線性方程組，具有計算量小、保多項式性等優點，從數值模擬的結果和相應的誤差分析可知，在迭代次數較低時，用這種方案所得到的數值解和解析解非常吻合． 數值模擬解逼近最優解，如果迭代次數較高，也即 ｔ→∞時，運用二維 Ｂ 樣條擬插值法誤差偏大，需要進一 步探究該方法的收斂性，但是誤差在可控的范圍內，因此對于一些復雜的整數階偏微分方程可以利用此方案得到相應的數值解和數值模擬圖．

參考文獻

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（編輯 陶志寧）