強 ｎ-平坦模與強 ｎ-絕對純模

摘要：引入強 ｎ-平坦模與強 ｎ-絕對純模的概念，其中 ｎ 是正整數或∞ ． 利用同調的方法研究它們的一些

基本性質． 同時，利用特征模給出強 ｎ-平坦模與強 ｎ-絕對純模之間的聯系． 作為應用，由此給出 ｎ-凝聚環的 一些新的等價刻畫．

關鍵詞：強 ｎ-平坦模；強 ｎ-絕對純模；ｎ-凝聚環

中圖分類號：Ｏ１５４． ２ 文獻標志碼：Ａ 文章編號：１００１-８３９５（２０２４）０３-０４０１-０６

ｄｏｉ：１０． ３９６９ ／ ｊ． ｉｓｓｎ． １００１-８３９５． ２０２４． ０３． ０１２

１ 預備知識

文中未作特別的聲明時所提到的環 Ｒ 均指具有單位元 １ 的結合環，模是指左 Ｒ-模或右 Ｒ-模． ｎ總表示給定的正整數或者∞ ，ｐｄ ＲＭ 表示 Ｍ 的投射維數．

眾所周知，平坦模和 ＦＰ-內射模是模理論和同調代數理論中非常重要的兩類模，它們在對凝聚環、Ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ 正則環（簡稱 ＶＮ 正則環）以及Ｐｒüｆｅｒ 整環等經典環類的刻畫上起到非常重要的作用． 因此，對平坦模和 ＦＰ-內射模的推廣研究得到了眾多學者們的廣泛關注．

文獻［１］介紹了 ＦＰ-內射模的概念，即對于每個有限表現模 Ｆ，有 Ｅｘｔ１Ｒ （Ｆ，Ｍ）＝ ０，則稱 Ｍ 為 ＦＰ-內射模． 文獻［２］給出了絕對純模的概念，即若每個模 Ｍ 包含它作為一個子模是純子模，則稱 Ｍ 為絕對純模． 同時給出了它的等價條件，即一個 Ｒ-模 Ａ是絕對純模當且僅當對任意的有限表現模 Ｎ，有Ｅｘｔ１Ｒ （Ｎ，Ａ）＝ ０． 從而說明了 ＦＰ-內射模與絕對純模是等價的．

文獻［３］引入了 ｎ-凝聚環，即對環 Ｒ 的任意左自由模的投射維數不超過（ｎ － １）的有限生成子模是有限表現的． 因此，所有環都是左 １-凝聚環，而左凝聚環都是 ｄ-凝聚環（ｄ 表示環 Ｒ 的左整體維數）．特別地，左 １-凝聚環是凝聚環． 同時 Ｌｅｅ 為了刻畫左 ｎ-凝聚環，推廣了平坦模和絕對純模，即引入了 ｎ-平坦模和 ｎ-絕對純模，并且給出了這兩類模的概念，即稱右 Ｒ-模 Ｍ 為 ｎ-平坦模，若對任意的有限表現左 Ｒ-模 Ｎ，且 ｐｄ ＲＮ≤ｎ，有 Ｔｏｒ １Ｒ （Ｍ，Ｎ）＝ ０． 稱左Ｒ-模 Ｍ 為 ｎ-絕對純模，若對任意的有限表現左 Ｒ-模 Ｎ，且 ｐｄ ＲＮ≤ｎ，有 Ｅｘｔ１Ｒ （Ｎ，Ｍ）＝ ０． 通過這兩類模得出關于左 ｎ-凝聚環若干等價刻畫，例如文獻［３］的定理 １ 和定理 ２ 等．

文獻［４］說明了 ｎ-平坦模和 ｎ-ＦＰ-內射模與有限生成左理想Ｉ 且 ｐｄ Ｒ Ｉ≤ｎ － １ 之間的一個聯系，即若左 Ｒ-模 Ｍ 為 ｎ-平坦模，當且僅當對環 Ｒ 的有限生成左理想 Ｉ 且 ｐｄ Ｒ Ｉ≤ｎ － １，有 Ｔｏｒ １Ｒ（Ｍ，Ｒ ／ Ｉ）＝ ０．若 Ｒ-模 Ｍ 為 ｎ-ＦＰ-內射模，當且僅當對環 Ｒ 的有限生成左理想 Ｉ 且 ｐｄ Ｒ Ｉ≤ｎ － １，有 Ｅｘｔ１Ｒ （Ｒ ／ Ｉ，Ｍ）＝ ０．同時也給出了 ｎ-平坦模和 ｎ-ＦＰ-內射模的余撓理論，通過余撓理論也給出了左 ｎ-凝聚環一些新的等價刻畫．

文獻［５］研究了 ＦＰ-內射模的一個真子類，引入強 ＦＰ-內射模，即右 Ｒ-模 Ｍ 稱為強 ＦＰ-內射模，如果對任意有限表現右 Ｒ-模 Ｎ，任意的整數 ｉ≥１，有ＥｘｔｉＲ （Ｎ，Ｍ）＝ ０． 通過強 ＦＰ-內射模進一步給出了凝聚環的一些等價刻畫． 文獻［６］引入了強 ｎ-ＦＰ-內射模． 此時的 ｎ-ＦＰ-內射模是指文獻［７］中利用 ｎ-表示模推廣的 ＦＰ-內射模和平坦模． 同時給出了 ｎ-凝聚環 ［８］的一些新的刻畫． 文獻［９］類似地給出了強ＦＰ ｎ -內射模和強 ＦＰ ｎ -平坦模的概念，證明了若 Ｒ 是 ｎ-凝聚環 ［８］當且僅當強 ＦＰ ｎ -內射模關于正向極限封閉，當且僅當強 ＦＰ ｎ -內射模的商模是強 ＦＰ ｎ -內射模等結論．

命題 ８ 設 Ｒ 是左 ｎ-凝聚環，則以下各條等價：

１）對任意的左 Ｒ-模正合列 Ａ→Ｂ→Ｃ→０，若Ａ，Ｂ 是（強）ｎ-絕對純左 Ｒ-模，則 Ｃ 是（強）ｎ-絕對純左 Ｒ-模；

２）對任意的右 Ｒ-模正合列 ０→Ｑ→Ｓ→Ｔ，若 Ｓ， Ｔ 是（強）ｎ-平坦右 Ｒ-模，則 Ｑ 是（強）ｎ-平坦右Ｒ-模；

３）若左 Ｒ-模 Ｍ 是（強）ｎ-絕對純模，α ∈Ｅｎｄ Ｍ，則 ｃｏｋｅｒ（α）是（強）ｎ-絕對純左 Ｒ-模；

４）若右 Ｒ-模 Ｎ 是（強）ｎ-平坦，β∈Ｅｎｄ Ｎ，則ｋｅｒ（β）是（強）ｎ-平坦右 Ｒ-模．

［１］ＳＴＥＮＳＴＲ？Ｍ Ｂ． Ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｒｉｎｇｓ ａｎｄ ＦＰ-ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ ｍｏｄｕｌｅｓ［Ｊ］． Ｊ Ｌｏｎｄ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，１９７０，２（２）：３２３-３２９．

［２］ＭＥＧＩＢＢＥＮ Ｃ． Ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｐｕｒｅ ｍｏｄｕｌｅｓ［Ｊ］． Ｐｒｏｃ Ａｍｅｒ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，１９７０，２６（４）：５６１-５６６．

［３］ＬＥＥ Ｓ Ｂ． ｎ-ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｒｉｎｇｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｍ Ａｌｇｅｂｒａ，２００２，３０（３）：１１１９-１１２６．

［４］ＹＡＮＧ Ｘ Ｙ，ＬＩＵ Ｚ Ｋ． ｎ-ｆｌａｔ ａｎｄ ｎ-ＦＰ-ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ ｍｏｄｕｌｅｓ［Ｊ］． Ｃｚｅｃｈ Ｍａｔｈ Ｊ，２０１１，６１（２）：３５９-３６９．

［５］ＬＩ Ｗ，ＧＵＡＮ Ｊ，ＯＵＹＡＮＧ Ｂ Ｙ． Ｓｔｒｏｎｇｌｙ ＦＰ-ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ ｍｏｄｕｌｅｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｍ Ａｌｇｅｂｒａ，２０１７，４５（９）：３８１６-３８２４．

［６］郭菁，周德旭． 關于強 ｎ-ＦＰ-內射模［Ｊ］． 福建師范大學學報（自然科學版），２０１８，３４（５）：１９-２３．

［７］ＣＨＥＮ Ｊ，ＤＩＮＧ Ｎ． Ｏｎ ｎ-ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｒｉｎｇｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｍ Ａｌｇｅｂｒａ，１９９６，２４（１０）：３２１１-３２１６

［８］ＣＯＳＴＡ Ｄ Ｌ． Ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚｉｎｇ ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ ｎｏｎ-ｎｏｅｔｈｅｒｉａｎ ｒｉｎｇｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｍ Ａｌｇｅｂｒａ，１９９４，２２（１０）：３９９７-４０１１．

［９］陳東，胡葵，陳明釗． 關于強 ＦＰｎ -內射模［Ｊ］． 西北師范大學學報（自然科學版），２０２０，５６（５）：３６-４１．

［１０］ＲＯＴＭＡＮ Ｊ Ｊ． Ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｈｏｍｏｌｏｇｉｃａｌ ａｌｇｅｂｒａ［Ｍ］． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，１９７９．

［１１］ＥＮＯＣＨＳ Ｅ Ｅ． Ａ ｎｏｔｅ ｏｎ ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｐｕｒｅ ｍｏｄｕｌｅｓ［Ｊ］． Ｃａｎａｄ Ｍａｔｈ Ｂｕｌｌ，１９７６，１９：３６１-３６２．

［１２］王宇鑫，王芳貴，肖雪蓮． ｕ-Ｍａｔｌｉｓ 余撓模和 Ｇ-整環的模刻畫［Ｊ］． 四川師范大學學報（自然科學版），２０２２，４５ （４）： ４６２-４６９．

［１３］肖雪蓮，王芳貴，林詩雨． 由正則理想確定的凝聚性研究［Ｊ］． 四川師范大學學報（自然科學版），２０２２，４５（１）：３３-４０．

［１４］陳丹，王芳貴，林詩雨． 半正則理想與 Ｑ０ -Ｎｏｅｔｈｅｒ 環［Ｊ］． 四川師范大學學報（自然科學版），２０２２，４５（６）：７３０-７３６．

［１５］ＬＥＥ Ｓ Ｂ． ｎ-Ｐｒüｆｅｒ ｄｏｍａｉｎｓ［Ｊ］． Ｂｕｌｌ Ａｕｓｔ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，２００３，６８（３）：４２３-４３０．

［１６］ＤＩＮＧ Ｎ Ｑ，ＣＨＥＮ Ｊ Ｌ． Ｔｈｅ ｈｏｍｏｌｏｇｉｃａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｓｉｍｐｌｅ ｍｏｄｕｌｅｓ［Ｊ］． Ｂｕｌｌ Ａｕｓｔ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，１９９３，４８（２）：２６５-２７４．

（編輯 鄭月蓉）