基于大概念的小學數學知識結構化策略探究
——以“‘平面圖形的面積’整理和復習”為例

■張亞麗，邱寅

根據目前落實新課標的精神要求，小學數學教學要做到“讓核心素養落地”，就需要基于學科大概念，構建結構化的課程體系，同時以主題為導向，使課程內容更加情境化。簡單來說，就是要圍繞學科大概念來構建課程，這也是深化課程改革的關鍵。在小學數學課程中，復習課又是課程內容重建的主陣地。然而，許多復習課卻“溫故有余，知新不足”，教師們基本采取“知識回顧+典型例題講解+鞏固練習”的強化應試訓練方式。這種復習方式應付常規題有一定的作用，但不能激發學生的學習興趣和創新思維，對核心素養發展更是收效甚微。此外，復習課中往往過于關注“知識點”，導致“結構性不足”，教師們通常被龐大的知識點牽著“走”，缺少了整體性、系統性的把握。如何才能使復習課重現生機？如何才能使學生在數學復習課中發展數學核心素養？本文擬對這一問題進行探討。

一、挖掘大概念，促進內容結構化

復習課并不是將過去所學的知識簡單再現和羅列，而應是從整體上對所學知識進行建構。因此，復習教學最應該思考——創設什么樣的真實情境才能巧妙地將學習者已學習的內容勾連起來？如何才能讓知識點重構成有系統、有邏輯的整體性知識結構？答案便是：找到數學大概念。學科大概念處于學科核心位置，集中體現學科核心思想與方法，它對于課程結構化具有關鍵作用，能夠幫助學習者深入理解知識本質從而實現遷移。聚焦大概念的學習能促進學習者對知識的深層理解與遷移，實現“少就是多”“貫穿一致”的學習理念。[1]換言之，通過大概念，將有內在關聯的知識進行整合，能夠更深入地觸及學科本質和思想方法，最終培養學生的數學核心素養，促進其全面發展。大概念的確定，有助于整合分散的單元內容，幫助學生構建知識體系并深化理解。這樣的整合能夠克服分課時學習的零散性和碎片化，促進學生全面掌握知識，實現溫故且知新的目的。鑒于此，筆者以北師大版小學數學“‘平面圖形的面積’整理和復習”復習課為例，探究大概念統整下如何使小數數學復習課內容結構化。

“‘平面圖形的面積’整理和復習”是北師大版小學數學六年級下冊的內容，從《義務教育數學課程標準（2022 年版）》來看，“平面圖形的面積”屬于“圖形與幾何”領域中的“圖形的認識與測量”主題；深度挖掘教材可以發現，該主題所學習的長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓以及組合圖形的面積公式推導都采用了“轉化”這一思想方法（如圖1 所示）。換言之，“轉化”這一“舊知”，便是“‘平面圖形的面積’整理和復習”“新知”的生長點。

圖1 平面圖形面積的面積公式推導圖

通過深入解讀與分析，發現本課不僅關注知識點的學習，更注重培養學生的“抽象能力”這一核心素養。學生通過分析各種圖形面積的計算方法，抽象出“轉化”這一數學思想，巧妙地實現了數學知識和數學核心素養的連接，凸顯了數學核心素養的重要價值。此外，“轉化”思想具有強大的遷移價值，能夠有效地將學科內外的知識和情境連接起來。簡而言之，“轉化”這一數學思想具有“中心性”和“可遷移性”等特征，理應成為本課的大概念。

二、轉化大概念，使問題驅動系統化

以“轉化”這一大概念來結構化“平面圖形的面積”這一主題的內容后，我們更應該思考——創設什么樣的真實情境才能巧妙地將學習者已學習過的內容勾連起來？設計什么樣的問題才能讓學習者在“溫故”中有“知新”？

（一）立足學情，挖掘生長點

復習課既要“溫故”，也要“知新”。因此在確立本堂課的學習目標前，要進行平面圖形面積復習前測，了解學生復習之前已經知道了什么，哪些知識可以自主遷移，學生的思維難點在哪兒。通過前測我們了解到：第一，基礎知識有遺忘，學生對于平面圖形面積公式的推導過程有遺忘，例如，長方形和正方形的面積公式推導。第二，方法策略單一，學生在學習中不能夠理解平面圖形相互之間的聯系，不能構建知識網絡。在此基礎上，借助KUDB 目標模板從不同的維度刻畫出學生“舊知”鞏固與“新知”生長點，促進師生高效開展學習活動。（見表1）

表1 “‘平面圖形的面積’整理和復習”一課的學習目標設計表

（二）深耕問題，內化大概念

以“轉化”這一大概念為核心，挖掘它的下位概念——核心概念，依據核心概念確定核心問題，并緊扣核心問題進一步設計子問題群，以子問題群支撐整個大概念建構的過程。從“‘平面圖形的面積’整理和復習”一課來看，其驅動性問題可分解成層層推進的子問題群。

子問題1：平面圖形的面積計算公式分別是什么？

子問題2：平面圖形的面積計算公式分別是怎樣推導出來的？

子問題3：根據公式之間的聯系，用你喜歡的方法把6 種圖形之間的聯系表示出來。

子問題4：有了平面圖形面積的復習經驗，下節課復習立體圖形，你又打算怎么復習？

通過審視上述問題框架，可以發現大概念深植于核心問題之中，并融入實際的任務驅動中，在真實情境中，通過解讀大概念找到核心概念，再依據核心概念確定核心問題，將核心問題細化為子問題群，依托子問題群通過問題驅動逐步展開學習活動，將大概念細化為具體可行的子任務，以任務驅動的方式推動深度學習的發生，促進學生的深度理解，從而內化大概念。

三、建構大概念，實現知識整體化

學生對大概念的建構，是在大量的學習活動中經歷體驗、積累、生成等環節，不斷構建自己對概念的理解過程。數學學科是一門結構化學科，結構是數學學科最為本質的特征。在小學數學教學中，教師要引導學生把握數學知識的結構生長點、生發點、生成點、延伸點。[2]為了幫助學生清晰地理解數學知識的產生與發展過程，教師需要讓學生經歷從個體到類別、從具體到抽象、從局部到整體、從單一到綜合的過程，進而掌握數學知識。在本節課中，教師設計序列活動，促進學生將教材中零散的知識點進行串聯，使數學知識呈現出連貫性，使知識連點成線、織線成網，建構大概念。

（一）以長方形為基礎，建構圖形之間的聯系，實現第一次思維結構化

【片段1】

師：在推導各個圖形面積公式時，我們發現圖形之間是有聯系的，那你能用你喜歡的方式把這6種圖形之間的聯系表示出來嗎？ （學生分組整理，典型的整理結果有兩種，分別如圖2、圖3）

圖2

圖3

生：我不同意圖3 的畫法，理由是正方形是特殊的長方形，應該根據長方形的面積公式推導出正方形的面積公式，所以應該以長方形為基礎來進行推導。

整個過程圍繞核心概念“轉化”而展開，學生經歷探究、合作、交流等深度學習過程，發現可以以長方形面積公式為基礎，通過轉化推導出已學的6 種平面圖形面積公式，打通了平面圖形面積公式之間的壁壘，即從轉化這種思想方法上構建了平面圖形面積之間的聯系，實現第一次思維結構化。

（二）以梯形為基礎，建構圖形之間的聯系，實現第二次思維結構化

【片段2】

課件出示題目①：圖4 中如果高和下底不變，把梯形的上底增加8 厘米，得到的圖形面積是多少？

圖4

學生解答完后追問：在做題的過程中，你有什么發現？

生：當梯形的上底和下底相等時，它就變成一個長方形或平行四邊形。

老師演示課件驗證學生的發現。

課件出示題目②：圖5 中如果高和下底不變，把梯形的上底減少5 厘米，得到的圖形面積是多少？

圖5

學生解答完后追問：在做題的過程中，你有什么發現？

生：當梯形的上底為0 時，變成了一個三角形。

老師演示課件驗證學生的發現。

師：請同學們接著往下想，梯形在什么情況下變成正方形？

生：當梯形的上底、下底和高三者相等時，它就變成一個正方形。

師：看來這6 種圖形的聯系還可以以梯形為基礎來畫（課件出示圖6）。

圖6

在鞏固應用階段，通過動畫演示梯形（下底和高不變）上底和腰的動態變化過程，從觀察梯形形狀的變化，到發現梯形面積公式的特征，引導學生透過現象看本質，發現梯形的上底改變，可以得到長方形、平行四邊形、三角形、正方形。讓學生體會到其他平面圖形與梯形之間的緊密聯系，從而建立關聯。在梯形面積這一概念的基礎上，三角形面積和平行四邊形面積等都可以視為特殊的梯形面積。在這個過程中，學生可以感受到化繁為簡的數學魅力，實現知識結構化的同時實現思維結構化。

（三）探索平面圖形統一的面積公式，實現第三次思維結構化

“不滿足是向上的車輪”，即使學生能夠實現前兩次知識的結構化，但我們認為還不夠。對于平面圖形的面積公式的最高層次的結構化，我們認為是“面積的二維屬性”，即平面圖形的面積大小都是由線段長度和移動距離決定的。這就從數學的本質上對面積進行了梳理與概括。當學生的意識中有了這樣的存在，審視數學的目光才會真正不一樣。

【片段3】

動畫展示一條5cm 長的線段垂直向上平移3cm 后，線段掃過的區域形成一個長方形，如圖7。

圖7

引導學生觀察，發現：長方形的面積可以用長×寬計算，還可以用線段長度×移動距離來計算。

動畫展示一條5cm 長的線段斜著向上平移3cm 后，線段掃過的區域形成一個平行四邊形，如圖8。

圖8

引導學生觀察，發現：平行四邊形的面積可以用底×高計算，還可以用線段長度×移動距離來計算。課件出示圖7、圖8，引導學生仔細觀察，可以發現他們有什么相同的地方？

生：兩個圖形都可以用線段長度×移動距離來計算面積。

師：學到這里，你們有什么疑問嗎？

生：梯形、三角形、圓能不能用這個公式來計算面積呢？

老師動畫展示梯形面積也可以用線段長度×移動距離來計算，只是線段長度變成了上底＋下底的平均數，如圖9。

圖9

師：三角形會解釋嗎？

生：三角形可以看作是上底為0 的梯形，所以道理和梯形一樣，都要用到平均數的知識。

師：解釋圓要用到微積分的知識，有興趣的同學課后可以接著研究。這樣看來所有平面圖形的面積都可以用線段長度×移動距離來計算。我們的復習課不能只回顧學過的知識，還得做到“溫故而知新”！

通過動畫課件，學生直觀地感知了“線段長度×平移距離=平面圖形的面積”這個面積計算方法的緣由，將學生腦海中關于平面圖形面積公式的一些零散的知識歸納、整合成同一公式，再次從計算方法上構建了平面圖形面積之間的聯系。學生既回顧了基礎知識，又在老師的引導下從更高層次去理解了學科知識，理解了知識背后所蘊含的邏輯依據、思想方法和價值意義，達到了知識的整合和課程內容的結構化，學生也能夠在更大范圍內和更高層次上遷移運用自己所獲得的知識。

通過三次知識的結構化，我們致力于將學生的數學學習構建成一個有機的整體，讓學生了解知識的起源、發展與未來。通過有機地安排和規劃相關內容，構建數學認知結構網，使學生能夠將簡單的內容學得豐富而深刻。

四、評價大概念，通達數學核心素養

在“‘平面圖形的面積’整理和復習”這一課中，學生能夠架構起“轉化”具有生長性的大概念，且能夠廣泛遷移應用。學生理解知識之間的聯系與結構，掌握學習方法，并能遷移運用所學方法解決新問題。簡言之，學生在結構化學習中建構大概念，逐步通達數學核心素養。

上課伊始，以“你準備怎樣整理與復習平面圖形的面積”這個開放式問題開課，引導學生自主地進行思考到底該如何整理與復習平面圖形的面積，學生通過思考得出應該復習公式、推導過程、應用以及探索面積之間的聯系幾個主要的復習要點。其實這也是復習圖形與幾何領域中比較常用的方法。

在課的結尾，通過對整節課的回顧，使學生感知到點動成線、線動成面、面動成體，并順勢自然提問“下節課復習立體圖形，你又打算怎么復習”。借助平面圖形復習的經驗，孩子們能自主進行知識的遷移，也打算從“公式—推導—關系—應用”這四個方面進行復習。就這樣，平面圖形面積的復習只是一個觸發點，“立體圖形體積的復習”則是學生借助上一觸發點積累的經驗實現的知識與能力的遷移。這樣的學習過程打破了二維到三維的壁壘，建立了研究圖形與幾何領域學習內容的模型。

在數學學習過程中，我們應將學生的數學學習視為一個有機整體。以大概念為核心，連“點”成“線”，織“線”成“網”，促進學生在更為高位和整體的視角建立知識之間的關聯。這樣的教學方法可以更好地培養學生的結構化思維，促進學生的學習從散點到整體、從淺顯到深入。通過這種方式，將使學生的知識學習和能力提升融為一體，進而提升學生的數學核心素養。