一道雙曲線聯考題的解法與結論推廣

摘 要：在近年高考或各地模擬考試中，以雙曲線為載體的圓錐曲線解答題已成為數學命題的一大熱點.2023年2月浙江省七彩聯盟返校聯考的第21題就是一道頗具探究價值的優質試題，文章在對該題進行解答的基礎上，對試題結論從延伸和類比兩方面進行推廣探究，進而得到相應的結論.

關鍵詞：雙曲線；聯考題；解法；結論推廣

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0006-04

雙曲線是一種重要的圓錐曲線，是高考命題的重點內容，尤其是近年高考或各地模擬考試中，雙曲線內容常出現在解答題中進行考查，體現了高考命題者對雙曲線內容的青睞.下面對一道高三雙曲線聯考題的解法和結論進行探究.

故以線段DE為直徑的圓過定點F（4，0），根據對稱性可知也過定點（-2，0）.

點評 該小題考查的是圓過定點問題.解法1首先引入參變量t，設出直線l的方程，通過聯立方程組求出兩交點縱坐標的和與積，然后利用直徑所對的角是直角，構造向量，運用向量數量積為0建立等式關系，求出定點.其中由圖形的對稱性猜測定點位置，從而明確方向，進而簡化計算.解法1是解決這類問題的通性通法.解法2根據題意條件，通過作出輔助線，挖掘并利用隱含的三角形相似、三角形內角平分線性質得到線段的垂直關系，從而找到圓過的定點，其解題過程十分簡捷、巧妙，體現了平面幾何知識在簡化解析幾何計算中的優越性.但解法2邏輯推理要求高，思維難度大，不易切入.

3 推廣探究

我們在這里將目光放到對第（2）問的推廣探究上.

3.1 延伸推廣

從對上述聯考題的條件和結論的分析可以看出，F是雙曲線Γ的右焦點，直線l1則是雙曲線Γ的右準線，M是雙曲線Γ左支上的一點，其結論是以線段DE為直徑的圓過的定點是焦點F和焦點F關于線段DE的對稱點.由此，我們來思考下面的兩個問題：

（1）能否把聯考題的結論延伸為一般雙曲線的情形？

（2）若F是雙曲線Γ的左焦點，直線l1則是雙曲線Γ的左準線，M是雙曲線Γ右支上的一點，是否可以得到同樣的結論？

答案是肯定的！于是由聯考題推廣為一般情形下雙曲線的兩個結論：

3.2 類比推廣

圓錐曲線有許多相似的性質或結論，由于雙曲線與橢圓均為有心二次曲線，能否將雙曲線的結論1和結論2分別類比到橢圓，得到同樣的結論？答案也是肯定的，于是有：

結論3 如圖3，已知點F（c，0）為橢圓Γ：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的右焦點，直線l1為Γ的右準線，過點F的任一條直線l與Γ在y軸右側交于A，B兩點.若M為橢圓Γ在y軸左側上一點，直線MA，MB分別與直線l1交于D，E兩點，則以線段DE為直徑的圓過定點（c，0）或（2a2/c-c，0）.

4 結束語

對典型試題的解法與結論推廣進行探究，就是指對問題從不同視角來審視，以不同的切入點探究問題，其實質是對試題的“二次開發”.通過對試題的剖析和思考，展開問題的來龍去脈和知識間的縱橫聯系，站在一定的高度去思考問題，突出數學本質，使知識達到融會貫通，使思維得到升華，進而優化數學思維品質[1].

參考文獻：

［1］ 李寒.平中蘊奇? 探究本質：一道2022年高考試題的溯源與延伸[J].數理化解題研究，2022（25）：81-83.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：李寒（1978-），女，貴州省桐梓人，本科，中學高級教師，從事數學教學研究.