微元法證明均勻球殼對殼內質點的萬有引力為零

摘 要：萬有引力普遍存在，但萬有引力公式只適用于質點之間，牛頓證明了球狀物體之間的萬有引力.高中物理熟知“均勻球殼對殼內質點的萬有引力為零”這個結論，但教學中通常忽視對它的嚴格證明，僅僅用微積分的思想作定性說明，缺乏嚴謹的科學論證.微元法是從微積分降解出來的初等方法，利用微元法從不同的視角證明以上結論，揭示出結論背后隱藏的普遍性規律和深層次物理原理，從根本上反映了平方反比規律具有的必然結論，促進學生科學思維的發展.

關鍵詞：高中物理；初等方法；微元法；萬有引力定律；平方反比規律

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0111-03

萬有引力定律堪稱物理學中普適性的經典楷模，贏得了后世無數科學家的贊賞.萬有引力普遍存在于自然界中任何兩個物體之間，因此是“萬有”的，但萬有引力公式F＝GMm/r2只適用于兩個質點之間，因為只有兩個點之間的距離r才能確定.當實際的物體不能看作質點時，如何求解它們之間的萬有引力，這在牛頓時代是個不小的難題，然而，牛頓自己發明了微積分把它解決了.即便如此，微積分方法也只能求解質量分布已知的情況，特別是質量分布具有某種對稱性的情況.后來數學家高斯創立了一個定理——高斯定理，可以非常簡捷地處理具有一定對稱性分布的問題[1].

質量分布均勻的球殼具有球對稱性（繞球心任意旋轉都是相同的），球殼對殼內外質點的萬有引力都可以用微積分或高斯定理求解[2]，而球體是一層層同心球殼的疊加，因此只要解決球殼的問題，那么相關的一系列問題都迎刃而解.其中有一個很重要的結論：均勻球殼對殼內質點的萬有引力為零.這個結論還可以借助空間“立體角”的概念進行證明，但這些方法都屬于高等數學.高中物理通常把這個結論不加證明地告訴學生，盡管不礙于問題的解決，卻難免有“強行灌輸”之嫌，終究給學生留下“知其然而不知其所以然”的疑惑和缺憾，這不利于學生思維能力的發展.

雖然高中階段對微積分不作要求，但由它派生出來的微元法屬于初等方法，并且非常巧妙地實現了降解.微元法是高中物理處理問題的重要方法，基本思路是“先無限分割，再累積求和”，即先把物體分割成足夠小的質量微元，求出它們之間的萬有引力，再求力的矢量和就可得到物體之間的萬有引力.本文利用微元法從兩種不同的視角，證明均勻球殼對殼內質點的萬有引力為零.

1 用微元法處理的基本思路

當物體不能看作質點時，物體之間的萬有引力如何計算？基本思路是將物體進行分割，當分割得足夠細時，每一部分都可以看作質點[3].如圖1所示，首先把A、B兩個物體分割成很多小塊，每一小塊的體積都很小，可以看作質量為Δm的質點，A、B物體上任意兩個質點間的萬有引力為

然后求出B物體上所有質點對Δmai的萬有引力，將這些力進行矢量求和，得到B對A上任意質點Δmai的萬有引力為

3 結束語

從證明的過程來看，之所以分割的每一對質量微元對球殼內任意質點的萬有引力為零，是因為萬有引力具有一個很明顯的特點，那就是它與距離的平方成反比.換句話說，“均勻球殼對殼內質點的萬有引力為零”這個結論并非偶然，而是平方反比規律的必然結果.既然如此，由于庫侖定律同樣遵循平方反比規律，那么本文的證明方法和結論也同樣適用于庫侖力，即“電荷分布均勻的球殼對殼內任意位置點電荷的庫侖力為零”.只不過帶電體產生的靜電場容易與物質發生相互作用，引起明顯的靜電感應現象或電介質極化現象，導致電荷的分布難以保證具有球對稱性.

參考文獻：［1］ 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2004：338.

［2］ 葉玉琴.為什么質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零：2012年高考全國新課標卷第21題［J］.中學物理，2013，31（04）：73-74.

［3］ 秦建云.高中物理原理與方法·力學［M］.北京：人民教育出版社，2012：194.

［4］ 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程·力學篇［M］.第2版.合肥：中國科學技術大學出版社，2013：302-303.

［5］ 周建麗，陳鋼.“均勻球殼對殼內物體引力為0”證明問題的探討［J］.物理教師，2013，34（09）：60-61.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：段石峰（1992-），男，湖南省常寧人，本科，中學二級教師，從事高中物理教學研究.